Dynamic Programming Treatment of the Solow and Ramsey–Cass–Koopmans Growth Models

O crescimento econômico é a história de como as sociedades se tornam mais ricas ao longo do tempo, produzindo mais bens e serviços para seu povo. Durante décadas, os economistas confiaram em duas histórias principais para explicar esse processo. A primeira história, conhecida como o modelo de Solow, trata a quantidade de dinheiro que as pessoas poupam e investem como uma regra fixa, como uma taxa de imposto definida por um governo. Ela assume que, se um país poupa uma certa porcentagem de sua renda todos os anos, essa decisão é simplesmente tomada por eles. A segunda história, chamada modelo de Ramsey, é mais complexa. Ela sugere que as pessoas são planejadoras inteligentes que decidem quanto poupar e quanto gastar com base no que as deixará mais felizes ao longo de suas vidas inteiras. Esta segunda história é mais difícil de resolver porque exige o cálculo da melhor trajetória possível para um domicílio que vive para sempre, equilibrando o desejo de aproveitar a vida hoje contra a necessidade de se preparar para o amanhã.

Para resolver esses problemas de planejamento complexos, os economistas usam uma ferramenta matemática chamada programação dinâmica. Imagine tentar encontrar a melhor rota através de uma cidade vasta e nebulosa. Você não consegue ver todo o mapa de uma vez, então faz um palpite sobre a melhor rota, verifica se ela funciona e depois ajusta seu palpite com base no que aprendeu. Você repete esse processo, refinando sua rota passo a passo, até estar confiante de que encontrou o caminho mais curto. Na economia, esse processo é chamado de iteração da função de valor. O computador começa com um palpite aproximado sobre quanto valor um domicílio obtém de uma certa quantidade de riqueza, e então atualiza repetidamente esse palpite para ver se pode fazer melhor. A questão que os pesquisadores frequentemente enfrentam não é se esse método eventualmente funciona, mas sim quantos passos leva para chegar lá. O palpite inicial importa, ou o computador apenas trabalha arduamente pelo mesmo número de passos, independentemente de onde começa?

Uma equipe de pesquisadores de universidades da Palestina e da Colômbia partiu para responder a essa pergunta específica usando um cenário econômico bem conhecido onde a resposta correta já é conhecida. Eles escolheram uma versão simplificada do modelo de Ramsey onde a matemática pode ser resolvida exatamente à mão, dando-lhes um alvo perfeito para mirar. Eles queriam ver se iniciar o processo de palpite do computador com um tipo específico de palpite instruído faria com que ele alcançasse a resposta correta mais rápido do que iniciar com um palpite diferente, porém igualmente razoável. Eles não inventaram uma nova maneira de resolver o problema; em vez disso, mediram cuidadosamente como a escolha do primeiro palpite alterou a velocidade da solução.

Os pesquisadores executaram suas simulações em um computador usando uma grade de 150 pontos para representar diferentes níveis de riqueza. Eles testaram dois palpites iniciais diferentes. O primeiro palpite era uma fórmula que se parecia um pouco com uma curva logarítmica, enquanto o segundo era uma curva diferente que subia mais lentamente. Ambos os palpites eram pontos de partida razoáveis, mas não eram iguais. Quando deixaram o computador executar seu processo de atualização padrão, os resultados mostraram uma diferença clara. O segundo palpite inicial permitiu que o computador alcançasse um alto nível de precisão em 28 passos. O primeiro palpite exigiu 37 passos para alcançar esse mesmo nível de precisão. Isso significa que simplesmente escolher um ponto de partida melhor poupou o computador cerca de 24 por cento do trabalho.

No entanto, os pesquisadores descobriram que essa vantagem era temporária. Uma vez que o computador passou pelos primeiros passos, ambos os palpites iniciais começaram a melhorar exatamente na mesma velocidade. A diferença entre eles não aumentou nem diminuiu; permaneceu constante. O melhor palpite inicial era simplesmente mais próximo da resposta final para começar, portanto, tinha menos distância para percorrer. Não era um corredor mais rápido, apenas um que começou mais perto da linha de chegada. Essa distinção é importante porque diz aos economistas que, embora um bom ponto de partida economize tempo, ele não altera a velocidade fundamental com que o computador aprende.

O estudo também descobriu um problema oculto com a forma como esses modelos de computador lidam com as quantidades de riqueza muito pequenas. Quando os pesquisadores observaram todo o intervalo de riqueza, incluindo as quantidades ínfimas próximas de zero, a precisão do computador atingiu um limite rígido. Não importava quantos passos o computador desse, o erro perto da base não desaparecia. Isso acontecia porque o computador estava usando uma grade com pontos uniformemente espaçados, o que é como tentar desenhar uma curva muito acentuada usando apenas linhas retas. Perto de zero, a curva é tão íngreme que as linhas retas não conseguem segui-la de perto, criando um borrão permanente. Os pesquisadores mostraram que, se quisessem remover esse borrão, não poderiam apenas executar o computador por mais passos; teriam que usar uma grade mais fina com mais pontos.

Além disso, a equipe descobriu que o computador frequentemente encontra o melhor plano de gastos muito mais rápido do que encontra o valor exato desse plano. Em muitos estudos econômicos, o objetivo é saber exatamente quanta felicidade uma pessoa obtém de sua riqueza. Mas se o objetivo é simplesmente saber quanto uma pessoa deve gastar ou poupar, o computador pode encontrar essa resposta muito rapidamente, mesmo enquanto ainda está lutando para definir o valor exato. Isso sugere que, para muitos fins práticos, os pesquisadores podem não precisar esperar que o computador termine seu cálculo completo.

Finalmente, os pesquisadores compararam seu método de simplesmente palpar e verificar contra uma técnica mais avançada chamada iteração de política, que é como uma maneira mais inteligente de navegar pela cidade. Eles descobriram que o uso dessa técnica avançada reduzia o número de passos necessários muito mais do que simplesmente escolher um melhor palpite inicial. Embora um bom ponto de partida seja útil, usar um algoritmo melhor é uma maneira muito mais poderosa de economizar tempo. O estudo conclui que, quando os economistas executam esses modelos, devem ter cuidado para relatar não apenas o resultado final, mas também como começaram, como mediram seu progresso e quão fina desenharam sua grade. Esses detalhes importam porque determinam quanto trabalho o computador realmente teve que fazer para obter a resposta.