Epistemic Horizons From Deterministic Laws: Lessons From a Nomic Toy Theory

あなたは、スピードを出して走るレースカーの完璧な写真を撮ろうとしていると想像してください。日常的な物理学の世界では、十分高速なカメラと十分安定した手さえあれば、車の正確な位置とその正確な速度を同時に捉えることができると想定するのが普通です。車の位置と速度の両方が分かれば、1秒後に車がどこにいるかを正確に予測できます。このように、宇宙は「すべてを知り得る知識があれば、ただ熱心に観察すればよい」という巨大な時計仕掛けの機械であるという考えが、古典力学の伝統的な見方です。

しかし、物理学の物語には「エピステミック・ホライゾン（認識論的地平）」と呼ばれる有名なひねりがあります。これを、いくら拭いても完全には晴らすことのできない、曇った窓だと考えてみてください。量子力学の奇妙な世界では、この霧は実在します。つまり、粒子の特定の性質のペア（位置とその速度など）を同時に知ることは不可能です。一方を知ろうとすればするほど、もう一方については分からなくなります。これは単に道具が劣っているからではなく、自然界の根本的なルールなのです。科学者たちは長い間、こう疑問を抱いてきました。この霧は量子世界特有の癖なのか、それとも、完全に予測可能で「古典的」な宇宙においても起こり得るのか？ もし厳格で壊すことのできない法則を持つ世界を構築したとしても、観測者は依然として詳細を知ることができない状態に置かれるのだろうか？

「Epistemic Horizons From Deterministic Laws（決定論的な法則からの認識論的地平）」と題されたこの論文は、まさにその問いに切り込んでいます。著者であるヨハネス・ファンクハウザー、トマーシュ・ゴンダ、ジェマ・デ・レス・コーブスは、「ノミック・トイ・セオリー（法則的玩具理論）」と呼ぶ、シンプルで架空の宇宙を構築しました。この宇宙では、すべてが厳格で予測可能なルールに従っており、ランダム性も魔法も量子的な奇妙さもありません。しかし、彼らは「観測者」（これは観察対象である物体のような物理的なオブジェクトに過ぎません）が情報を収集する方法について、特別なルールを導入しました。彼らは、たとえ完璧に論理的で時計仕掛けのような世界であっても、観測者が一度にすべての情報を知ることはできないことを証明しました。ある特性を測定しようとすれば、必然的に別の特性を知る能力を失ってしまうのです。

著者たちは、この限界が宇宙が混沌としているからでも、観測者が不器用だからでもないことを示しています。それは、観測者と対象物の相互作用の仕方に起因しています。彼らのモデルにおいて、観測者は、自分が観察しているものを見ることができる特定の「眼鏡」を通して世界を見る探偵のようなものです。もし探偵が「位置」の手がかりを見ようとすれば、眼鏡は「速度」の手がかりをぼやけさせ、その逆もまた同様です。この論文は、数学的に、これが決定論的なトイ・ユニバースであっても起こることを証明しています。結果として、「霧」の正体は、観測者が対象となるシステムの一部であるという単純な事実から自然に発生するものであるという、魅力的な発見をもたらしました。

探偵と曇った眼鏡

これがどのように機能するかを理解するために、広大な平坦な遊び場で行われるゲームを想像してみましょう。このゲームには、2種類のキャラクターが登場します。オブジェクト（対象物）（研究されているもの）と、サブジェクト（主体/探偵）（それについて学ぼうとする探偵）です。

通常の退屈な物理学の授業であれば、探偵はオブジェクトに近づき、その「位置」を測定し、次に「運動量」（どのくらいの速さと方向で動いているか）を測定しても、何も変化させることはありません。彼らは両方の数値を書き留め、オブジェクトの秘密の生涯のすべてを知ることができます。

しかし、著者たちの「ノミック・トイ・セオリー」では、ルールが異なります。ここでは、探偵はゲームの外に浮遊する幽霊ではなく、オブジェクトと同じ物質でできた物理的なオブジェクトです。何かを知るためには、探偵はオブジェクトにぶつからなければなりません。この衝突は、2つのビリヤードの球が衝突するように、物理的な相互作用です。

著者たちは、探偵に対して特定のルールを設定しました。探偵は、自分自身の「ダッシュボード」に表示されるものだけを「知る」ことができます。このダッシュボードを「顕在変数（Manifest Variable）」と呼びましょう。私たちの探偵にとって、このダッシュボードには自身の「位置」のみが表示されます。彼らには自身の「運動量」のためのダッシュボードはありません。彼らは自分自身の速度に対して盲目なのです。

さて、探偵がオブジェクトの「位置」を知りたいとします。彼らは自分のダッシュボードをオブジェクトに合わせて、特定の「測定相互作用」（注意深く振り付けられた衝突）を行います。このトイ・ユニバースの厳格な法則により、この衝突は2つのことを引き起こします。

1. 探偵のダッシュボードを更新し、オブジェクトの位置を表示させる。
2. 探偵がどれほどの速度で動いていたかに基づいて、オブジェクトの運動量を偶然にも蹴飛ばし、かき乱してしまう。

ここが重要な点です。探偵は自分自身の速度を知らないため、自分がどれほど強くオブジェクトを蹴ったのかを計算することができません。彼らはダッシュボード上に新しい「位置」を見ますが、オブジェクトの運動量は今や謎となってしまいます。

この論文は強力な定理を証明しています：「互いに両立可能な（compatible）」ものだけを測定できる。 このトイ・ワールドにおいて「両立可能」とは、知りたい2つの要素が互いに争わないことを意味します。もし位置と運動量を同時に測定しようとすれば、宇宙の数学はそれが不可能であると告げます。位置を明らかにするための相互作用は、必ず運動量をかき乱さなければならず、探偵は自分の速度が見えないために、それを修正する方法もありません。

「眼鏡」のアナロジー

探偵の学習能力を、特別なサングラスをかけていることに例えて考えてみましょう。

• もし垂直の眼鏡をかけていれば、世界の「垂直」な特性をはっきりと見ることができますが、あらゆる「水平」なものはぼやけて見えます。
• もし水平の眼鏡をかけていれば、「水平」な特性は見えますが、「垂直」なものはぼやけて見えます。

この理論では、探偵はどの眼鏡をかけるか（どの測定を行うか）を選択できます。しかし、同時に両方の眼鏡をかけることは決してできません。論文は、この特定の決定論的な世界において、物理法則がまさにその眼鏡のように機能することを示しています。「霧」は世界がランダムであるからではなく、見ることが対象を変えてしまい、かつ、見る側がその変化を補正するにはシステムに縛られすぎているために発生するのです。

大きな絵における意味合い

著者たちの主な発見は、不確実性は量子的な魔法だけでなく、純粋な論理と相互作用から生じ得るということです。彼らは、すべてが厳格な法則に従う世界（完璧なコンピュータ・シミュレーションのような世界）を構築しましたが、その中の「プレイヤー」たちは、何を知ることができるかという点で根本的な制限を受けています。

彼らは、この制限が単なる技術不足ではないことを明確に否定しています。それは探偵の道具が遅すぎるのではなく、道具そのものが探偵自身であるからです。もし探偵が、自分の速度を先に測定することで問題を解決しようとしても、論文はそのことが新たな問題を引き起こすだけであることを示しています。自分の速度を測定しようとすると、測定しようとしているものに影響を与えてしまいますし、自分の速度を知るためには自分の位置を知る必要がありますが、位置を知るためには速度を乱さずに済む方法がありません。これは完璧な「無知のループ」なのです。

これは、**スペケンズのトイ・セオリー（Spekkens' Toy Theory）**と呼ばれる有名な概念に結びついています。著者たちは、彼らの決定論的な「ノミック・トイ・セオリー」が、スペケンズの理論の背後にある隠れたエンジンであることを示しました。スペケンズの理論は、「すべてを知ることはできないと仮定してみよう、そして何が起こるか見てみよう」というパズルでした。この論文の著者たちは、「仮定する必要はない。もし観測者が物理的なシステムであるような世界を構築すれば、『仮定されたルール』は自動的に発生するのだ」と言っているのです。

ですから、次に宇宙が曖昧で不確実であるという話を聞いたときは、こう思い出してください。おそらく、その曖昧さは宇宙が壊れているかランダムであるからではなく、私たちが機械の中にいて、一度に片側の側面しか見せてくれない眼鏡をかけているからかもしれません。著者たちは、たとえ完璧に明晰で論理的な世界であっても、見るという行為が、私たちが決して越えることのできない地平を作り出すことを証明したのです。