Surface code scaling on heavy-hex superconducting quantum processors

問題提起

ネイティブな結合性がコードのトポロジーと一致しないハードウェア上で、表面符号量子メモリの閾値下スケーリング（subthreshold scaling）を実証することは、依然として中心的な課題である。Googleの超伝導プロセッサは、表面符号をネイティブに反映した2D正方格子を利用しているが、IBMのヘビーヘックス（heavy-hex）アーキテクチャ（ハニカム格子）は、並列なシンドローム抽出に必要な結合性が欠如している。この不一致により、非隣接量子ビット間の状態転送が必要となり、結果として重大なアイドルギャップ（idle gaps）が生じる。これらのギャップは、量子ビットをノイズの蓄積、特にコヒーレントなZZクロストークや非マルコフ的なデフェージングにさらすことになり、これらが閾値下スケーリング（コード距離の増加によって論理エラー率が減少すること）の観測を妨げる可能性がある。さらに、スケーリングを評価するための既存の指標は、定常性、ユニタリティ、および状態準備・測定（SPAM）エラーが無視できることを前提とした、現象論的な単一パラメータのフィッティングに依存することが多いが、これらの仮定はヘビーヘックス・デバイスにおいては成立しない可能性がある。

手法

著者らは、コードの埋め込み、制御の最適化、および新しい性能指標を統合した設計手法（co-design approach）を通じて、これらの課題に対処している。これは、IBMのHeron世代の超伝導プロセッサ（具体的には ibm_aachen および ibm_marrakesh）上で実施された。

1. コードの埋め込み（Code Embedding）: チームは、深さを最小化するSWAPベースの「フォールド・アンフォールド（fold-unfold）」埋め込み戦略を実装している。この手法は、ブリッジ・アンシラ（bridge ancillas）を使用して次近接相互作用を促進することにより、表面符号をヘビーヘックス格子に適応させるものである。回路は、重み4のスタビライザーを重み2のオペレーターへと折り畳み（folding）、それらをアンシラを介して測定した後、再び展開（unfolding）することで、シンドローム抽出を簡素化する。これにより、標準的なSWAPコンパイルと比較して回路の深さが軽減される。
2. ダイナミカル・デカップリング（DD）: 埋め込みによって生じる不可避なアイドルギャップ中のノイズを緩和するために、著者らは堅牢でギャップを考慮したダイナミカル・デカップリングを統合している。彼らは、「ユニバーサリ・ロバスト（URm）」ファミリー、およびXY4やRGA8aシーケンスから、特定のアイドルギャップの長さに合わせて最適化されたシーケンスを選択している。DDは、コヒーレントなZZクロストークと非マルコフ的なデフェージングを抑制するために、すべての量子ビット（データ、アンシラ、およびブリッジ）に適用される。
3. 異方的スケーリング（Anisotropic Scaling）: ハードウェアの制約（156量子ビット）により、著者らは $d=3$ から $d=5$ への等方的スケーリング（$(5,5)$ コードが必要）を行うことはできない。代わりに、以下の異方的スケーリングを実施している：
   • $(d_x, d_z) = (3, 5)$: 位相反転（Z）エラーに対する保護を強化。
   • $(d_x, d_z) = (5, 3)$: ビット反転（X）エラーに対する保護を強化。
     これらは、同一チップ内のサブ格子に埋め込まれた $(3,3)$ コードと比較される。
4. 性能指標:
   • エンタングルメント・フィデリティ（EF）: 著者らは、X基底およびZ基達の論理エラーデータから直接計算されるエンタングルメント・フィデリティ ($F_e$) に基づく、第一原理的な指標を導出している。この指標は、SPAM、非ユニタリティ、およびサイクル依存のノイズを考慮しており、厳密な上限および下限を提供する。
   • 抑制係数（Suppression Factors）への批判: 彼らは、単一パラメータのフィッティングから導出される標準的な抑制係数（$\Lambda_\epsilon$）を批判的に検討し、その基礎となる仮定（定常性、ユニタリティ、SPAMなし）が彼らのデータでは違反されていることを示し、コードの性能を誤認させる可能性があることを実証している。

主な結果

• 異方的閾値下スケーリング: 実験は、特定の方向における距離パラメータの増加が、対応する論理基底に対する保護を向上させることを示している。具体的には、$(3,5)$ コードは $(3,3)$ の平均よりもZ基底の状態に対して低い論理エラー確率を示し、$(5,3)$ コードはX基底の状態に対して改善を示す。
• ダイナミカル・デカップリングの役割: DDは極めて重要な要素として特定された。DDは、ヘビーヘックス・レイアウトにおいて支配的なエラー源であるコヒーレントなZZクロストークと非マルコフ的なデフェージングを抑制する。DDがない場合、DDが小さなコードに対して不釣り合いな利益を与えることにより、論理エラー率がコード距離とともに減少しているように見え、真のスケーリング挙動ではなく「偽の（spurious）」スケーリングの主張を生む可能性がある。真のスケーリング挙動を明らかにするには、適切に最適化されたDDが必要である。
• 指標の妥当性: エンタングルメント・フィデリティ指標は、仮定が違反されている場合に、広く使用されている単一パラメータのフィッティングがコードの性能を隠蔽してしまうことを明らかにしている。著者らは、論理ノイズチャネルが非ユニタルかつサイクル依存であることを示しており、より複雑なEFベースの分析が必要であることを示している。
• グローバルなスケーリングの現状: 異方的スケーリングは有望であるが、現在のIBM QPUにおいて、完全な論理チャネルに対する全状態に依存しない（state-independent）グローバルな閾値下スケーリングは観測されていない。直交基底（例：$(3,5)$ コードにおけるX基底エラー）のための回路の複雑さが増大することが、距離を増やすことによる利益を現在上回っている。
• ハードウェア要件: 実験ノイズを較正した数値シミュレーションによれば、ノイズ率のわずか $\sim30\%$ の削減と、$(5,5)$ コードをホストできるわずかに大きなデバイスへのアクセスがあれば、真の閾値下スケーリングを達成するのに十分である。

意義と主張

本論文は、非ネイティブなアーキテクチャ上での堅牢な表面符号の閾値下スケーリングテストに向けた具体的な道筋を確立することを主張している。その主な貢献は以下の通りである：

1. 方向性のある保護のデモンストレーション: 接続性に制約のあるハードウェア上であっても、回路の深さが最小化されている限り、異方的スケーリングが特定の型のエラーに対して保護を向上させられることを示した。
2. QECとDDの相互作用の最適化: 量子エラー訂正（QEC）とエラー抑制（DD）の相互作用が微妙であることを強調している。偽のスケーリングの主張を避けるためには、DDを各コードサイズに対して個別に最適化する必要がある。
3. 堅牢な指標の導入: 非マルコフ的およびバイアスのあるノイズが存在する状況下で、スケーリングを正確に評価するために不可欠な、フィッティングフリーでSPAMを考慮した、サイクル依存の代替手法としてエンタングルメント・フィデリティ指標を提案した。
4. 実現可能性のロードマップ: 将来の実験に対する明確なデバイスレベルの目標を提供している：接続性を考慮した埋め込みによる深さの最小化、堅牢なDDの統合、およびEFベースの指標の使用である。著者らは、軽微なハードウェアの改善（ノイズ低減と追加の量子ビット）があれば、ヘビーヘックス・アーキテクチャにおいて真の閾値下スケーリングは手の届く範囲にあると主張している。