Inclusive productions of $J/\psi+\eta_c$ in $e^{+}e^{-}$ annihilation at Belle

技術的要約：「Belleにおける $e^+e^-$ 消滅による $J/\psi + \eta_c$ の包括的生成」

問題の所在
低エネルギー領域における非相対論的量子色力学（NRQCD）因子化フレームワークの妥当性は、依然として議論の対象となっている。NRQCDはハドロン生成における高横運動量（$p_T$）のチャームオニウム生成を成功裏に記述しているが、近年の研究では、RHICやLHCのような衝突型加速器における積分 $p_T$ 断面積に関して、NRQCDの予測と実験データの間に不一致があることが示されている。具体的には、実験的に観測されるエネルギー依存性は、しばしば次数の低い（LO）カラーシングレット（CS）の予測と一致する一方で、QCD補正やカラーオクテット（CO）メカニズムを含めると、非物理的な挙動を招いたり、期待されるような支配的な寄与とならなかったりする場合がある。Bファクトリー（$\Upsilon(4S)$ 共鳴点付近）における電子・陽電子（$e^+e^-$）消滅は、背景事象が抑制されたよりクリーンな環境を提供するため、低エネルギー領域におけるNRQCDの妥当性を検証するための理想的なテスト場となる。排他的な二重チャームオニウム生成（$e^+e^- \to J/\psi + J/\psi$）ではCO寄与の理論的な抑制が示されているが、包括的な二重チャームオニウム生成（$e^+e^- \to J/\psi + \eta_c + X$）におけるCOメカニズムの役割については、理論的に未完成である。これまでの研究はLO CS寄与に限定されていたか、あるいは関連するCO項が欠落しており、COメカニズムが全断面積のエネルギー依存性にどのように影響するかについての理解に空白を残していた。

手法
著者らは、NRQCD因子化フレームワークの枠組みの中で、包括的過程 $e^+e^- \to J/\psi + \eta_c + X$ に関する系統的な次世代（NLO）解析を行っている。計算には以下の主要な要素が含まれる：

• 因子化: 断面積は、摂動論的に計算可能な短距離係数（SDC）と、非摂動的な長距離行列要素（LDME）へと因子化される。
• 過程の分類: 寄与する振幅は、中間状態の $c\bar{c}$ ペアのカラー構造に基づいて分類される：
  • CS+CS: $e^+e^- \to c\bar{c}[^3S_1^{[1]}] + c\bar{c}[^1S_0^{[1]}]$。このチャネルには、従来のQCDダイアグラムとQED寄与（具体的には単一光子フラグメンテーション、SPF）の両方が含まれる。
  • CS+CO: 一方のCSと一方のCOの状態を含む過程（例：$c\bar{c}[^3S_1^{[1]}] + c\bar{c}[^3S_1^{[8]}]$）。これらには、ソフトグルオン放出によって赤外（IR）発散を誘起するチャネルが含まれ、これらはLDMEの繰り込みによって処理される。
  • CO+CO: 二つのCO状態を含む過程。著者らは、特に $^3S_1^{[8]}$ 単一グルオンフラグメンテーション（SGF）トポロジーを伴う、大きな寄与が見込まれるチャネルに焦点を当てる。
• 放射補正: 計算には、関連するすべてのチャネルに対するNLO QCD補正が含まれる。CS+CSチャネルについては、$\mathcal{O}(\alpha^2)$ のQED補正および $\mathcal{O}(\alpha^3)$ におけるQCDとの干渉が含まれる。
• 繰り込み: 紫外（UV）および赤外（IR）発散は次元正則化を用いて正則化される。繰り込みは、チャームクォークの質量と場についてはオンマスシェル（OS）スキームで、QCD結合定数とグルオン場については $\overline{\text{MS}}$ スキームで行われる。
• 入力値: 本研究では、既存の文献（Refs. [101–104]）から得られた $J/\psi$ に関連する4つの代表的なLDMEセットを利用する。$\eta_c$ のLDMEは、重いクォークのスピン対称性を用いて $J/\psi$ の行列要素から導出される。計算は $\sqrt{s} = 10.52$ GeV ($\Upsilon(4S)$)、$\Upsilon(5S)$、および 20 GeV まで拡張して行われる。

主要な貢献と結果

• QCD補正による増強: QCD補正は、CSおよびCOの両チャネルにおいてLOの結果を著しく増強させる。純粋なCSチャネルの場合、NLO補正は断面積を約2倍に増加させる。COチャネルでは、この増強はさらに顕著であり、LOの結果を約3倍に増加させる。
• QEDダイアグラムの役割: CSチャネルにおけるQEDダイアグラムとQCDダイアグラムの干渉は、$\sqrt{s} = \Upsilon(4S)$ においてNLO予測に対して追加で10%～20%の寄与を与える。この寄与は無視できず、衝突エネルギーとともに急速に増大し、$\sqrt{s} = 20$ GeV ではNNLO補正に匹敵するようになる。
• カラーオクテットメカニズムの影響: CO項の導入は、$\Upsilon(4S)$ において包括的な断面積を20%～30%増加させるが、この増強はLDMEセット2、3、4を用いた結果に特有のものである。LDMEセット1を用いた場合、NRQCDの予測はCSの予測に近いままである。
  • 「セット1」のLDMEを用いると、NRQCDの予測はCSの予測に近く、同様のエネルギー依存性（$\sim s^{-4}$）を示す。
  • 「セット2、3、および4」を用いると、NRQCDの予測は有意に大きくなり（$\Upsilon(4S)$ で20–30%高く、20 GeV では3–4倍高い）、CSの予測と比較して明確に異なる、より緩やかなエネルギー依存性（$\sim s^{-3}$）を示す。
• フィードダウン寄与: 本研究では、$\psi(2S)$ 生成（$e^+e^- \to \psi(2S) + \eta_c + X$）からのフィードダウンが、$\Upsilon(4S)$ における包括的な $J/\psi + \eta_c$ 断面積に対して約 6.5 fb の寄与をし、全NRQCD予測を約40%増幅させると推定している。
• 実験的実現可能性: Belleコラボレーションによる $J/\psi \to \mu^+\mu^-$ および6つの $\eta_c$ 崩壊チャネルの再構成戦略に基づき、著者らは、SuperKEKBで期待される高い積分ルミノシティ（50 ab$^{-1}$）があれば、$\Upsilon(4S)$ 共鳴点付近で数百から千個のイベントが蓄積され、この過程が観測可能になると推定している。

意義と主張
本論文は、包括的な $e^+e^- \to J/\psi + \eta_c + X$ 過程が、低エネルギーにおけるNRQCD因子化フレームワークの鋭敏なテストを提供すると主張している。特定のLDMEセットを用いた場合のNRQCD予測の独特なエネルギー依存性は、純粋なCS予測と比較することで、これらのメカニズムを区別するためのユニークなプローブとなる。著者らは、COメカニズムが断面積を増幅させ、エネルギーのスケーリング挙動を変化させる重要な役割を果たしており、これは低エネルギーではCO寄与が無視できるという予想に反するものであると断言している。さらに、本研究は、正確な現象論的予測のためにQED干渉項とフィードダウン寄与を含めることの理論的重要性を強調している。結論として、本研究は、この過程がBelleにおいて観測可能であることを示しており、低エネルギー領域におけるNRQCDの妥当性を巡る継続中の論争を解決するための潜在的な経路を提供している。