Phase shifting digital holography with random phase steps: A novel robust algorithm

技術要約：ランダムな位相ステップを用いた位相シフト型デジタルホログラフィ

問題提起
位相シフト型デジタルホログラフィ（PSDH）は、光波の複素振幅（振幅と位相）を復元するための標準的な干渉技術である。従来、これには、校正されたピエゾ駆動ステージを用いて、参照波の位相を既知かつ精密な量だけシフトさせた複数のホログラムをキャプチャする必要があった。しかし、従来のアルゴリズムにおける位相復元の精度は、位相シフトの精度に大きく依存している。もし位相ステップが未知であったり、不均一であったり、あるいはランダムであったりする場合、標準的なアルゴリズムは失敗するか、あるいは停滞する可能性がある。過去の研究では、反復最小二乗法、主成分分析、またはフーリエ領域の手法を用いて未知の位相シフトに対処してきたが、これらは特定の条件（例：大量のフレーム数、正確な背景推定、または特定の位相シフト分布）を必要とすることが多く、特に輝度値が飽和限界に近づく際のノイズに対して敏感である。

手法
著者らは、ランダムで未知の位相ステップ（$\theta_n$）を伴う一連のホログラムから、物体の位相 $\alpha(x)$ を復元できる、新規で堅牢なアルゴリズムを提案している。この手法は、事前の位相シフトに関する知識や、校正されたピエゾアクチュエータを必要としない。アルゴリズムは、以下の4つのモジュールで構成されている。

1. 測定モジュール： システムは $N$ 個のホログラム（$H_n$）をキャプチャする。物体（$I_o$）および参照波（$I_r$）の強度は、直接測定されるか、あるいはホログラムスタックから推定され、DC項（$I_{DC}$）およびAC項（$I_{AC}$）が決定される。
2. 推定モジュール：
   • アルゴリズムは、関係式 $\Gamma_1(x) = [H_1(x) - I_{DC}(x)]/I_{AC}(x)$ を用いて $\cos[\alpha(x)]$ を計算する。
   • $\cos[\alpha(x)]$ は2つの可能な解（実数解 $\alpha$ と共役解 $2\pi - \alpha$）をもたらすため、アルゴリズムは各ピクセルに対して正しい枝を選択するためのバイナリ関数 $T(x)$ を導入する。
   • $T(x)$ を決定するために、アルゴリズムは参照ピクセル（$x_{ref}$）と比較ピクセル（$x_{comp}$）を比較する。複数のフレームにわたって、これら2つの解の差の累積複素平均を計算することにより、アルゴリズムは、実数解と共役解のどちらがフレーム間で一貫しているかを統計的に判断し、これにより位相の曖昧さを解決する。
3. 予測モジュール：
   • 初期の位相推定値 $\alpha(x)$ を用いて、アルゴリズムは量子化された位相ステップの範囲（$\Theta_P$）に対する合成ホログラム（$Z_p$）を生成する。
   • 実際のキャプチャされたホログラム（$H_n$）とこれらの合成予測値を比較することで、アルゴリズムは各キャプチャにおける特定の位相ステップ $\theta_n$ を特定する。これにより、事前の校正なしにランダムな位相ステップを精密に推定することが可能となる。
4. 精緻化モジュール：
   • 推定された位相ステップ $\theta_n$ が既知となった状態で、アルゴリズムは位相推定値 $\alpha(x)$ の最終的な精緻化を行う。
   • アルゴリズムは、量子化された位相値のベクトル（$A_Q$）に対する「ブルートフォース（総当たり）」探索を行い、測定されたホログラムとモデル予測との差を最小化する値を見つけ出し、最終的に精緻化された位相 $\alpha_R(x)$ を得る。

主な貢献

• ランダムな位相ステップへの対応： 本アルゴリズムは、校正されたピエゾステージや既知の位相ステップを必要とせず、代わりに未校正のアクチュエータや受動的な環境振動によって生成されるランダムな位相シフトを利用して、位相情報を正常に復元できる。
• 曖昧さの解決（$T(x)$）： $T(x)$ 関数の導入により、実数解と共役解の位相解を区別するための堅牢な統計的手法が提供され、これは位相復元における一般的なエラー源である。
• 合成ホログラムによる予測： 合成ホログラムを用いてランダムな位相ステップと測定誤差を能動的に推定するという概念は、この文脈において斬新である。
• ノイズに対する堅牢性： 本手法は、$\Gamma_1(x)$ が $\pm 1$ に近づく領域（従来の $\arccos$ ベースの推定器が通常失敗したりノイズが大きくなったりする領域）においても、安定性を実証している。

結果
著者らは、数値シミュレーションと2つの異なる実験セットアップを通じてアルゴリズムの検証を行った。

1. 数値シミュレーション： ノイズを加えた20×1440ピクセルのホログラムを用い、アルゴリズムはわずか5フレームで位相の復元に成功した。精度はフレーム数が増えるにつれて向上した（最大35フレーム）。精緻化された位相（$\alpha_R$）は、初期推定値と比較して、特に $0, \pi, 2\pi$ 付近において大幅にノイズが低減されていた。
2. 実験システム1（レンズレス干渉計）： 未校正のピエゾアクチュエータを使用して、線形位相ランプターゲット上にランダムな位相シフトを生成した。アルゴリズムは位相プロファイルを正常に復元し、ターゲットの構造的特徴が保持されていること、および測定が複数回の試行にわたって堅牢であることを示した。
3. 実験システム2（デジタルホログラフィック顕微鏡）： 能動的なアクチュエータを持たないシステムを使用し、受動的なラボ内の振動のみを利用してランダムな位相シフトを作成した。このシステムを用いてMCF-7乳がん細胞を撮像した。アルゴリズムは位相を正常に復元し、その後、位相アンラップおよびゼルニケ収差（ピストン、傾斜、デフォーカス）の補正を行うことで、細胞の高さマップを生成した。

意義と主張
本論文は、このアプローチが従来のPSDHに対する堅牢で柔軟な代替案を提供すると主張している。校正されたピエゾステージの必要性を排除することで、光学セットアップを簡素化し、ハードウェアコストを削減できる。著者らは、位相シフトが完全にランダムで未知であっても、この手法が有効であり、精密な機械的制御が困難または不可能なアプリケーションに適していることを強調している。結果は、この手法が計測学（線形位相ランプ）と生物学的イメージング（ラベルフリー細胞高さ測定）の両方において一貫性と正確性を備えており、受動的な位相シフト（例：振動によるもの）が唯一の選択肢である環境において実用的なソリューションを提供することを示している。著者らは、ブルートフォース探索が量子化誤差をもたらすものの、8ビットの解像度（256レベル）は、彼らの実験条件において処理時間と精度の最適なバランスを取っていると述べている。