1. 연구 문제 및 배경 (Problem & Background)

• 배경: 통계적 차익거래는 유사한 자산 간의 가격 편차가 장기 균형으로 수렴할 때 발생하는 수익을 목표로 합니다. 기존 연구는 주로 브렌트 (Brent) 와 WTI 와 같은 두 개의 기존 원유 선물 쌍에 집중했습니다.
• 문제점:
  • 2018 년 도입된 상하이 원유 선물은 위안화 표시, 거래 제한, 중동/아시아산 원유 혼합 기준 등 제도적·구조적 차이로 인해 기존 벤치마크와 일시적으로 분리 (Segmentation) 될 수 있습니다.
  • 기존 쌍거래 전략은 공적분 벡터가 시간에 따라 불변한다고 가정하지만, 실제로는 구조적 변화 (Structural Breaks) 로 인해 성능이 저하될 수 있습니다.
  • 두 자산 간의 쌍별 공적분 (Pairwise Cointegration) 이 검출되지 않더라도, 세 자산 이상을 동시에 고려할 때 공적분 관계가 성립할 가능성이 있습니다.
• 연구 목적: 상하이 선물을 포함한 세 가지 원유 선물 간의 공적분 관계를 규명하고, 체제 전환 (Regime Switching) 을 고려한 동적 모델을 통해 수익성이 높은 통계적 차익거래 전략을 개발하는 것입니다.

2. 방법론 (Methodology)

2.1. 공적분 분석 및 스프레드 모델링

• 공적분 벡터 추정: 브렌트 (B), 상하이 (S), WTI (W) 세 가지 선물 가격의 선형 결합인 스프레드 ($S_t = \lambda_0 + \lambda_B F^B_t + \lambda_S F^S_t + \lambda_W F^W_t$) 를 정의하고, Johansen 공적분 검정을 통해 장기 균형 관계를 확인했습니다.
• AR-HMM 모델 (평균 회귀 숨겨진 마코프 모델):
  • 스프레드 $S_t$의 동역학을 1 차 자기회귀 (AR(1)) 과정으로 모델링하되, 시장 체제 (Regime) 에 따라 모수가 변하도록 설계했습니다.
  • 수식: $S_{t+1} = \gamma(X_t) + \alpha(X_t)S_t + \eta(X_t)z_t$
    • $X_t$: 관측 불가능한 마코프 체인 (시장 체제, 예: 고변동성/저변동성).
    • $\gamma, \alpha, \eta$: 각 체제별 상수, 자기회귀 계수, 변동성.
    • $|\alpha| < 1$: 체제 내에서의 평균 회귀 성질 보장.
  • 이 모델은 연속 시간의 OU-HMM(Ornstein-Uhlenbeck) 의 이산 시간 표현으로 볼 수 있으며, 이산 시간 형식을 채택하여 변동성 파라미터까지 일관되게 추정할 수 있도록 했습니다.

2.2. 파라미터 추정: 필터 기반 EM 알고리즘

• 문제: 마코프 체인 $X_t$는 관측되지 않으므로 (Partial Observation), 관측된 스프레드 데이터로부터 현재 체제와 모수를 추정해야 합니다.
• 해결: 필터 기반 기대값 최대화 (Filter-based EM) 알고리즘을 적용했습니다.
  • 스토키스틱 필터링: 관측된 스프레드 데이터를 바탕으로 마코프 체인의 상태 확률 ($\hat{X}_t$) 을 실시간으로 추정합니다.
  • EM 알고리즘: 필터링된 추정치를 사용하여 모수 ($\gamma, \alpha, \eta, \Pi$) 를 반복적으로 업데이트합니다.
  • 온라인 학습: 새로운 데이터가 들어올 때마다 재학습 없이 필터와 파라미터를 업데이트하여 시장 상황에 동적으로 적응합니다.

2.3. 차익거래 전략 (Trading Strategies)

총 5 가지 전략을 비교 분석했습니다:

1. PV (Plain Vanilla): 스프레드가 0 이 아닐 때 즉시 포지션 진입 (기준치).
2. ProbI (Probability Interval): 과거 데이터의 이동 평균과 표준편차 (Rolling Window) 를 기반으로 한 확률 구간 ( Bollinger Band 유사) 이탈 시 진입.
3. PredI (Prediction Interval): 제안된 AR-HMM 모델의 **1 단계ahead 예측 (One-step-ahead forecast)**과 예측 구간을 기반으로 진입/청산 신호 생성. (본 논문 핵심 전략)
4. RI (Realized Increment): 스프레드 변화율의 과거 분위수를 기반으로 진입.
5. PI (Predicted Increment): AR-HMM 모델을 기반으로 예측된 스프레드 변화율의 구간 이탈 시 진입.

3. 주요 기여 (Key Contributions)

1. 새로운 공적분 관계 규명: 브렌트, WTI, 상하이 3 개 선물을 동시에 고려할 때 공적분 관계가 성립함을 최초로 입증했습니다. 특히, 쌍별 공적분이 검출되지 않는 경우에도 3 개 이상을 묶으면 공적분이 성립할 수 있음을 보였습니다.
2. 동적 체제 전환 모델 제안: 고정된 공적분 벡터 대신, 숨겨진 마코프 체인을 통해 시간에 따라 변하는 공적분 스프레드 동역학을 모델링했습니다.
3. 실시간 필터링 적용: 관측되지 않는 시장 체제를 실시간으로 추정하여 모델 파라미터를 동적으로 조정하는 필터 기반 EM 알고리즘을 차익거래 전략에 성공적으로 적용했습니다.

4. 실증 분석 결과 (Results)

4.1. 데이터 및 설정

• 데이터: 2018 년 3 월 (상하이 상장) ~ 2023 년 6 월의 일간/주간 데이터.
• 구분: 학습 샘플 (Training) 과 테스트 샘플 (2022 년 7 월 ~ 2023 년 6 월) 로 분할.
• 거래 비용: 브렌트 (5.8 bps), WTI (20.2 bps), 상하이 (53.7 bps) 등 실제 거래 비용 반영.

4.2. 전략 성과 비교

• 모델 기반 전략의 우위: 제안된 PredI (예측 구간) 및 PI (예측 변화율) 전략이 전통적인 과거 데이터 기반 전략 (ProbI, RI) 보다 월등히 높은 수익률과 샤프 지수 (Sharpe Ratio) 를 기록했습니다.
  • PredI 전략: 연간 수익률 약 15.18%, 샤프 지수 1.1792 (통계적 유의성 있음).
  • 상하이 선물의 역할: 상하이 선물의 가격이 장기 균형 관계로 빠르게 수렴 (Mean Reversion) 하는 속도가 브렌트나 WTI 보다 빨라, 일시적인 가격 왜곡을 포착하는 데 유리한 것으로 분석되었습니다.
• 쌍별 공적분 부재 상황에서도 유효: 브렌트-WTI, 상하이-WTI 등 특정 쌍에서는 공적분이 검출되지 않았으나, 3 개 선물을 포함한 전략은 여전히 수익을 창출했습니다.
• 리스크 분석: VaR(Value-at-Risk), ES(Expected Shortfall), 최대 낙폭 (MDD) 분석 결과, 제안된 전략들은 단순 매수보유 (Buy-and-Hold) 전략이나 ETF 전략에 비해 하방 리스크가 훨씬 낮았습니다.

4.3. 민감도 분석 (Robustness)

• 거래 비용: 거래 비용이 증가해도 AR-HMM 기반 전략 (PredI, PI) 은 여전히 수익성을 유지했습니다.
• 초기값 민감도: EM 알고리즘의 초기값을 무작위로 변경하여 100 회 반복 실행한 결과, 전략의 수익성과 샤프 지수가 안정적으로 유지됨을 확인했습니다 (국소 최적해(Local Optima) 문제 해결).
• 데이터 기간: 학습 데이터 기간이 짧아지거나 테스트 기간이 변해도 전략의 우위성은 일관되게 나타났습니다.

5. 의의 및 결론 (Significance & Conclusion)

• 새로운 자산의 기회: 상대적으로 덜 발달된 상하이 원유 선물 시장은 기존 벤치마크와 구조적 차이를 보이며, 이로 인해 통계적 차익거래의 기회를 제공합니다.
• 모델의 실용성: 단순한 통계적 패턴 (과거 데이터) 에 의존하는 것보다, 시장의 숨겨진 체제 변화를 포착하는 확률적 모델 (AR-HMM) 을 사용하는 것이 더 높은 수익과 안정성을 보장합니다.
• 다변량 접근의 중요성: 두 자산 간의 관계만 보는 전통적인 쌍거래를 넘어, 3 개 이상의 자산을 동시에 고려하는 다변량 접근법이 공적분 실패 시에도 차익거래 기회를 확보할 수 있음을 증명했습니다.

이 연구는 국제 원유 시장에서 새로운 선물을 포함한 다변량 통계적 차익거래의 가능성을 입증했을 뿐만 아니라, 불완전 정보 하에서의 필터링 기법을 금융 공학에 효과적으로 적용한 방법론적 사례를 제시했습니다.