A hidden Markov model for statistical arbitrage in international crude oil futures markets

1. 問題設定 (Problem)

• 背景: 統計的アービトラージ（ペアトレード）は、類似した資産間の価格の長期的な均衡からの一時的な乖離を利用し、均衡への回帰を待って利益を得る戦略である。従来の原油先物市場では、ブレント（Brent）と WTI のペアが研究されてきた。
• 課題:
  1. 2018 年に導入された上海原油先物（Shanghai crude oil futures）の存在。これは人民元建てであり、中東・アジア産原油を基準とするなど、従来のブレントや WTI とは構造的・制度的な違いがある。
  2. 従来のペアトレード戦略は、主に「観測されたスプレッド（価格差）」のみに基づいており、市場レジーム（状態）の変化や、スプレッドの動的な構造変化を十分に捉えきれていない可能性がある。
  3. 3 つの先物（ブレント、WTI、上海）を同時に扱う場合、ペアごとの共積分関係が検出されないケースでも、3 者間では共積分関係が成立する可能性があるが、その戦略化は未だ十分には研究されていない。
• 目的: 上海原油先物を含む 3 つの原油先物価格の共積分関係を分析し、隠れマルコフモデル（HMM）を用いたレジームスイッチング・モデルを構築することで、より高度で収益性の高い統計的アービトラージ戦略を提案・検証すること。

2. 手法 (Methodology)

2.1 共積分分析とスプレッドのモデル化

• データ: ブレント、WTI、上海の 3 つの原油先物価格の週次・日次データ（2018 年 3 月〜2023 年 6 月）。
• 共積分関係: Johansen の共積分検定により、3 つの価格系列間に 1 つの共積分関係が存在することを確認。スプレッド $S_t$ は以下の線形結合として定義される。
  $$S_t = \lambda_0 + \lambda_B F^B_t + \lambda_S F^S_t + \lambda_W F^W_t$$
• モデル: 従来の定数パラメータの回帰モデルではなく、隠れマルコフモデル（HMM）によって制御される平均回帰過程としてスプレッドをモデル化する。
  • 離散時間 AR-HMM 過程：
    $$S_{t+1} = \gamma(X_t) + \alpha(X_t)S_t + \eta(X_t)z_t$$
    ここで、$X_t$ は観測できないマルコフ連鎖（市場レジームを表す）、$\gamma, \alpha, \eta$ はレジームに依存するパラメータ（それぞれ定数項、自己回帰係数、ボラティリティ）、$z_t$ は標準正規分布に従うノイズ。
  • このモデルは、市場の状態（レジーム）が変化することで、スプレッドの平均回帰速度や長期平均、ボラティリティが変化する現象を捉える。

2.2 パラメータ推定：フィルタリングベースの EM アルゴリズム

• 課題: マルコフ連鎖 $X_t$ は観測できない（隠れ状態）ため、直接推定できない。
• 解決策: 観測されたスプレッドデータ $S$ のみを用いて、現在のレジームとモデルパラメータを動的に推定する**フィルタリング（Stochastic Filtering）**手法を採用。
• アルゴリズム:
  • 期待値最大化（EM）アルゴリズムを、隠れ状態のフィルタ推定値（$\hat{X}_t$）を用いてオンラインで更新する形式（Filter-based EM algorithm）に拡張。
  • 補助変数（状態遷移回数 $J$、状態滞在時間 $O$、観測値の積 $T$ など）を再帰的に更新し、パラメータ $\hat{\gamma}, \hat{\alpha}, \hat{\eta}, \hat{\Pi}$ を推定する。
  • これにより、新しい市場情報が得られるたびにモデルを動的に調整（チューニング）できる。

2.3 戦略の構築

5 つの統計的アービトラージ戦略を比較検討。

1. Plain Vanilla (PV): スプレッドが 0 以外なら即座にポジションを持つ（基準戦略）。
2. Probability Interval (ProbI): 過去の移動平均と標準偏差に基づく Bollinger 帯のような後方視的（backward-looking）な確率区間を用いる。
3. Prediction Interval (PredI): 提案した AR-HMM モデルを用いた**前方視的（forward-looking）**な予測区間（1 歩先予測の期待値と分散）に基づいて取引信号を生成。
4. Realized Increment (RI): スプレッドの増分が過去の経験分布から外れるか否か（後方視的）で判断。
5. Predicted Increment (PI): モデルに基づく予測増分が外れるか否か（前方視的）で判断。

3. 主要な貢献 (Key Contributions)

1. 3 者間の共積分関係の検証: 従来のペア（ブレント-WTI）に加え、新しく導入された上海先物を含む 3 者間の共積分関係を初めて体系的に検証し、それが成立することを示した。
2. レジームスイッチング・モデルの適用: 共積分スプレッドを、隠れマルコフ連鎖によって制御される平均回帰過程としてモデル化し、フィルタリング技術を用いてパラメータを動的に推定する枠組みを提案した。これは従来の静的なペアトレードモデルを一般化するものである。
3. 戦略の比較と実証: 提案モデルに基づく戦略（PredI, PI）が、従来の後方視的戦略やペアごとの戦略よりも優れていることを実証した。特に、ペアごとの共積分が検出されない場合でも、3 者間モデルではアービトラージが可能であることを示した。

4. 結果 (Results)

• 収益性:
  • 提案されたモデルベースの戦略（特に PredI と PI）は、従来の後方視的戦略（ProbI, RI）や単純なペア戦略（PV）を凌駕する高い年間収益率とシャープレシオを達成した。
  • PredI 戦略は、様々なバンド幅（$\alpha$）の設定において、統計的に有意な高いシャープレシオ（例：$\alpha=0.20$ で約 1.18）を示した。
  • 取引コスト（特に上海先物の高いコスト）を考慮しても、戦略は利益を上げることが確認された。
• 上海先物の役割:
  • 上海先物価格が、ブレントや WTI に比べて長期的な均衡関係への回帰速度が速いことが発見された。この特性が、一時的な価格誤差を迅速に利益に変える機会を提供している。
  • 新規に導入された資産（上海先物）は、市場が成熟する前の「アービトラージの機会」を提供している可能性が高い。
• ペアごとの共積分の有無:
  • 一部のペア（例：WTI-ドバイ、上海-WTI など）では共積分が検出されなかったが、3 つの先物を組み合わせた戦略では共積分関係が成立し、収益性が得られた。
• リスク分析:
  • VaR（Value at Risk）や最大ドローダウン（MDD）の分析により、提案戦略は従来の原油先物 ETF や S&P500 への投資と比較して、尾部リスクやドローダウンが小さいことが示された。
• ロバスト性:
  • 取引コストの変動、サンプル期間の開始日・終了日の変更に対する感応度分析を行い、結果が頑健であることを確認した。
  • EM アルゴリズムの初期値に対する感応度も低く、安定した推定が行われていることが確認された。

5. 意義と結論 (Significance and Conclusion)

• 理論的意義: 統計的アービトラージにおいて、単なる時系列の統計的性質だけでなく、背後にある「隠れた市場レジーム」をモデル化し、フィルタリング技術を用いて動的に推定するアプローチの有効性を示した。
• 実務的意義:
  • 新興市場（上海先物）と成熟市場（ブレント、WTI）を組み合わせることで、より広範なアービトラージ機会を創出できることを示した。
  • 従来のペアトレードが「2 資産」に限定される傾向があったが、「3 資産以上」の組み合わせが、ペアごとの共積分が成立しない場合でも有効な戦略となり得ることを実証した。
• 結論: 隠れマルコフモデルに基づく統計的アービトラージ戦略は、保守的な取引コスト水準下でも経済的に有意義かつロバストな収益を生み出す。特に、上海先物のような比較的新しい資産を組み合わせることで、市場の非効率性をより効果的に捉えることができる。

この研究は、エネルギー市場における価格発見メカニズムの理解を深めるとともに、複雑な金融市場における高度な定量的取引戦略の設計に対する新たな視点を提供するものである。