Forecasting of Multiple Seasonal Categorical Time Series Using Fourier Series with Application to AQI Data of Kolkata

논문 요약: TSOLR 및 ISOLR 모델을 이용한 범주형 시계열의 복잡한 다중 계절성 모델링 및 예측

1. 연구 배경 및 문제 제기 (Problem)

• 배경: 전력 수요 예측과 같은 연속형 시계열 데이터에서는 TBATS(Trigonometric seasonality, Box-Cox transformation, ARMA errors, Trend and Seasonal components) 모델과 같은 기법을 통해 다중 계절성 (일별, 주별, 연별 등) 을 효과적으로 모델링해 왔습니다.
• 문제: 그러나 대기질 지수 (AQI) 와 같은 범주형 (Categorical) 시계열 데이터에서는 다중 계절성을 처리하는 연구가 매우 제한적입니다. AQI 는 '좋음', '보통', '나쁨' 등 순서형 (Ordinal) 범주로 표현되며, 이러한 데이터는 연속형 모델을 직접 적용하기 어렵습니다.
• 핵심 과제: AQI 데이터는 계절적 패턴 (여름, 몬순, 겨울 등), 요일별 패턴 (주말 vs 평일), 그리고 특정 축제 기간 (디왈리 등) 에 따른 비정기적 변동 등 복잡한 다중 계절성을 동시에 가지는데, 기존 마르코프 체인이나 머신러닝 모델들은 이러한 다중 계절 구조를 명시적으로 포착하거나 해석 가능한 방식으로 모델링하는 데 한계가 있었습니다.

2. 제안된 방법론 (Methodology)

저자들은 TBATS 모델의 철학을 범주형 데이터에 적용하기 위해 순서형 로지스틱 회귀 (Ordinal Logistic Regression) 기반의 두 가지 새로운 모델을 제안했습니다.

• TSOLR (Trigonometric Seasonality in Ordinal Logistic Regression):

  • 핵심 아이디어: TBATS 의 삼각함수 (푸리에 급수) 계절성 요소를 순서형 로지스틱 회귀의 선형 예측자 (Linear Predictor) 에 포함시킵니다.
  • 수식: $logit(P(Y_t \le j)) = \theta_j - \sum (\beta_1 \cos(2\pi t/P_i) + \beta_2 \sin(2\pi t/P_i)) + X_t^T \gamma$
  • 특징: 사인 (sin) 과 코사인 (cos) 항을 사용하여 계절성 (일별, 주별, 연별) 을 매끄럽게 (smoothly) 표현합니다. 이는 주기적인 패턴을 연속적으로 근사하여 모델의 해석력을 유지하면서도 유연성을 확보합니다.

• ISOLR (Indicator Seasonality in Ordinal Logistic Regression):

  • 핵심 아이디어: 계절성을 이산적인 더미 변수 (Indicator Functions) 로 표현합니다.
  • 수식: $logit(P(Y_t \le j)) = \theta_j - (\beta_1 \cdot Summer_t + \beta_2 \cdot Monsoon_t + \dots + \beta_5 \cdot Weekend_t + \beta_6 \cdot Y_{t-1})$
  • 특징: 특정 계절, 주말, 축제 기간 (디왈리) 등을 0 또는 1 의 이진 변수로 직접 인코딩합니다. 이는 갑작스러운 변화나 불규칙한 계절적 형태 (예: 축제 기간의 급격한 AQI 악화) 를 포착하는 데 유리합니다.

• 추정 방법: 최대우도추정법 (MLE) 을 사용하여 모수를 추정하며, 오비즈 (Proportional Odds) 가정을 기반으로 합니다.

3. 주요 기여 (Key Contributions)

1. 범주형 다중 계절성 모델링 프레임워크: 연속형 시계열의 TBATS 개념을 순서형 범주형 데이터 (AQI) 에 성공적으로 확장하여, TSOLR 과 ISOLR 모델을 개발했습니다.
2. 해석 가능성과 유연성의 균형: 푸리에 급수 (TSOLR) 를 통해 매끄러운 주기성을, 더미 변수 (ISOLR) 를 통해 불연속적/갑작스러운 변화를 모두 모델링할 수 있는 유연한 프레임워크를 제시했습니다.
3. 실증적 일관성 증명: 다양한 샘플 크기 (500, 1000, 10000) 에 대한 시뮬레이션 연구를 통해 제안된 모델의 모수 추정치가 점근적으로 일관성 (Consistency) 이 있음을 입증했습니다.
4. 실제 데이터 적용: 인도 콜카타 (Kolkata) 의 2019~2024 년 일별 AQI 데이터를 활용하여 모델의 실용성을 검증했습니다.

4. 실험 결과 (Results)

• 시뮬레이션 연구:

  • TSOLR 과 ISOLR 모델 모두 모수 추정에서 높은 정확도를 보였습니다.
  • 샘플 크기가 커질수록 추정 오차가 감소하여 모델의 일관성이 확인되었습니다.
  • 예측 성능 (Accuracy, Weighted F1-score) 면에서 ISOLR 이 TSOLR 보다 미세하게 우세했으나, 샘플 크기가 커질수록 두 모델 간 격차는 줄어들었습니다.

• 콜카타 AQI 데이터 분석 (실제 적용):

  • 데이터: 2019~2023 년 학습 데이터, 2024 년 테스트 데이터 사용.
  • 비교 대상: 기존 시계열 모델 (MTD, PAR), 머신러닝 (Random Forest, SVM), 딥러닝 (LSTM) 과 비교.
  • 성능:
    • TSOLR 모델이 가장 높은 예측 정확도 (74.04%) 와 가중 F1 점수 (74.07%) 를 기록하여 가장 우수한 성능을 보였습니다.
    • **푸리에 기반 모델 (TSOLR, Fourier-SVM)**이 일반적으로 더미 변수 기반 모델 (ISOLR, Indicator-RF 등) 보다 더 나은 성능을 보였습니다. 이는 푸리에 급수가 복잡한 계절적 구조와 고주파수 변동 (예: 축제 기간) 을 더 잘 포착하기 때문입니다.
    • 특히 Random Forest 는 더미 변수를 사용할 때 성능이 좋았으나, 푸리에 변수를 사용할 때 성능이 급격히 하락하는 경향을 보였습니다.

5. 의의 및 결론 (Significance)

• 환경 모니터링 및 정책 지원: 이 연구는 AQI 와 같은 순서형 범주형 데이터의 복잡한 계절적 패턴을 정량화하고 예측할 수 있는 강력한 도구를 제공합니다. 이를 통해 대기 오염 관리 및 공공 보건 전략 수립에 기여할 수 있습니다.
• 모델 해석력: 블랙박스 형태의 딥러닝 모델과 달리, 제안된 TSOLR/ISOLR 모델은 계절성 요인이 AQI 분류 확률에 미치는 영향을 통계적으로 해석할 수 있다는 장점이 있습니다.
• 확장 가능성: 향후 공간적 의존성 (여러 관측소 간 상관관계) 추가, 풍속/습도 등 외생 변수 통합, 비례 오즈 가정 완화 (Partial Proportional Odds) 등을 통해 모델의 정밀도를 더욱 높일 수 있는 방향을 제시했습니다.

결론적으로, 본 논문은 TBATS 의 아이디어를 범주형 데이터에 적용한 TSOLR 과 ISOLR 모델을 통해, 복잡한 다중 계절성을 가진 AQI 데이터의 예측 정확도와 해석 가능성을 동시에 향상시켰음을 입증했습니다.