📊 statistics

Forecasting of Multiple Seasonal Categorical Time Series Using Fourier Series with Application to AQI Data of Kolkata

Dit artikel presenteert een nieuw raamwerk dat Fourier-reeksen en indicatorfuncties combineert om meervoudige seizoenspatronen in categorische tijdreeksen, zoals de luchtkwaliteitsindex van Kolkata, nauwkeuriger te voorspellen dan bestaande Markov-modellen en machine learning-methoden.

Oorspronkelijke auteurs: Anirban Ghosh, Raju Maiti

Gepubliceerd 2026-03-05

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Anirban Ghosh, Raju Maiti

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat de luchtkwaliteit in een stad als Kolkata (India) een grote, levende orkest is. De muziek die dit orkest speelt, is de lucht die we inademen. Soms klinkt het prachtig (Goede luchtkwaliteit), soms wat rommelig (Matig), en soms klinkt het als een vreselijk geschreeuw (Ernstig).

De onderzoekers van dit paper, Anirban Ghosh en Raju Maiti, wilden een manier vinden om te voorspellen welke "muziek" het orkest morgen zal spelen. Ze keken naar een specifiek probleem: de luchtvervuiling heeft meerdere ritmes die tegelijkertijd spelen, net zoals een orkest dat een snelle drumbeat, een langzame baslijn en een jaarlijks feestnummer tegelijkertijd uitvoert.

Hier is wat ze deden, vertaald naar alledaagse taal:

1. Het Probleem: De Lucht is geen getal, maar een kleur

Meestal kijken mensen naar luchtkwaliteit als een getal (bijvoorbeeld 150 of 300). Maar voor de gemiddelde burger is dat lastig. Het is makkelijker te zeggen: "Vandaag is de lucht Groen (Goed), Geel (Matig) of Rood (Slecht)."

Dit is een categorische tijdreeks: een reeks van kleuren in plaats van getallen. De oude methodes om dit te voorspellen (zoals Markov-ketens) waren als een simpele kaartlezer: "Als het vandaag Rood is, is de kans groot dat het morgen ook Rood is." Maar die kaartlezer zag de ritmes niet. Hij wist niet dat de lucht in de winter vaak slechter is dan in de zomer, of dat het rond Diwali (een groot festival) plotseling erg slecht wordt door vuurwerk.

2. De Oplossing: Twee manieren om het ritme te vangen

De auteurs bedachten twee nieuwe manieren om deze complexe ritmes te modelleren. Ze namen een idee van een bekend model voor elektriciteitsverbruik (TBATS) en pasten het aan voor deze "kleuren".

Methode A: De "Kalender-Check" (ISOLR)

Stel je voor dat je een kalender hebt met post-its.

Als het winter is, plak je een rode post-it.
Als het weekend is, plak je een blauwe post-it.
Als het Diwali is, plak je een gouden post-it.

Dit is het ISOLR-model. Het is heel duidelijk en makkelijk te begrijpen. Het zegt: "Op dagen met een rode post-it (winter) is de kans op slechte lucht groter." Het werkt goed, maar het is een beetje "hakkerig". Het ziet de winter als één groot blok, zonder te zien hoe de lucht langzaam verslechtert als de winter naderbij komt.

Methode B: De "Golf-Teekening" (TSOLR)

Nu stel je je voor dat je in plaats van post-its, een golflijn tekent.

De lijn gaat zachtjes omhoog in de winter en zachtjes omlaag in de zomer.
De lijn heeft kleine piekjes voor het weekend en een enorme piek voor Diwali.

Dit is het TSOLR-model. Het gebruikt wiskundige golven (Fourier-series) om de seizoenen glad en vloeiend te beschrijven. Het is alsof je de muziek van het orkest niet alleen hoort, maar ook de golven van de geluidsgolven ziet. Dit model is slimmer omdat het subtiele veranderingen kan zien die de "post-it-methode" mist, zoals een plotselinge piek in vervuiling die niet precies op een vaste dag valt.

3. De Test: Wie speelt het beste?

De onderzoekers hebben dit getest op echte data uit Kolkata (2019-2024). Ze hebben hun nieuwe modellen vergeleken met oude methodes en zelfs met slimme computerprogramma's (zoals "Random Forests" en "LSTM", die vaak worden gebruikt in AI).

Het resultaat: Het TSOLR-model (de golf-lijn) won net iets van de rest. Het was het beste in het voorspellen van de luchtkwaliteit voor de volgende dag.
De verrassing: De "slimme" AI-modellen deden het ook goed, maar ze waren een zwart doosje. Je kon niet zien waarom ze een bepaalde voorspelling deden. Het TSOLR-model daarentegen is doorzichtig. Je kunt precies zien: "Ah, het model zegt dat het morgen slecht wordt omdat de golflijn aangeeft dat we in de winterperiode zitten en het weekend is."

4. Waarom is dit belangrijk?

Stel je voor dat je een burgemeester bent. Je wilt weten of je morgen een waarschuwing moet sturen naar de mensen met astma.

Met de oude methodes (of de post-it-methode) kun je zeggen: "In de winter is het vaak slecht."
Met de nieuwe golf-methode (TSOLR) kun je zeggen: "Morgen is het specifiek slecht omdat we in de winter zitten, het weekend is, en er een festival in de buurt is, en de lucht verslechtert nu al een beetje."

Samenvatting in één zin

De auteurs hebben een slimme nieuwe manier bedacht om de luchtvervuiling te voorspellen door te kijken naar de ritmische golven van de seizoenen en festivals, in plaats van alleen te kijken naar wat er gisteren gebeurde, waardoor we de luchtkwaliteit van morgen beter kunnen begrijpen en voorspellen.

Het is alsof ze van een simpele weersvoorspelling ("Het regent morgen") zijn gegaan naar een gedetailleerde analyse van het klimaat ("Het regent morgen omdat de wind uit het westen komt, de luchtvochtigheid hoog is en het een maandag is").

Titel: Modellering en Voorspelling van Complexe Meerdere Seizoenspatronen in Categorieale Tijdsreeksen met TSOLR- en ISOLR-modellen

Auteurs: Anirban Ghosh en Raju Maiti (Indians Statistical Institute, Kolkata, India)

1. Probleemstelling

Seizoensgebonden patronen (herhalende cycli) zijn veelvoorkomend in tijdsreeksen. Hoewel modellen zoals TBATS (Trigonometric seasonality, Box–Cox transformation, ARMA errors, Trend and Seasonal components) effectief zijn voor het modelleren van meerdere seizoenspatronen in continue tijdreeksen (bijv. elektriciteitsvraag), is de toepassing op categorieale tijdreeksen beperkt.

Specifiek probleem: De luchtkwaliteitsindex (AQI) wordt vaak gerapporteerd als een ordinale categorie (bijv. Goed, Bevredigend, Matig, Slecht, Zeer Slecht, Ernstig) in plaats van een continue waarde.
Uitdaging: Standaard modellen voor continue data kunnen niet direct worden toegepast omdat ze aannemen dat de data continu is en additieve fouten hebben. Categorieale data is discreet en ordinaal.
Complexiteit: AQI-data vertoont vaak meerdere seizoenspatronen tegelijkertijd:
- Dagelijkse patronen (bijv. pieken in de ochtend/avond).
- Wekelijkse patronen (verschil tussen werkdagen en weekenden).
- Jaarlijkse patronen (seizoenen zoals winter vs. moesson).
- Evenementgebonden patronen (bijv. verslechtering tijdens het Diwali-festival).
Bestaande methoden: Markov-ketens, machine learning (Random Forest, RNN) en logistische regressie met seizoenscovariaten worden gebruikt, maar deze missen vaak een expliciete, interpreteerbare manier om meerdere complexe seizoenscycli tegelijkertijd te modelleren zonder overfitting of verlies van interpretatie.

2. Methodologie

De auteurs stellen twee nieuwe modellen voor die de TBATS-ideeën (gebruik van Fourier-reeksen voor seizoenspatronen) aanpassen aan een ordinaal logistiek regressie kader (Proportional Odds Model).

A. Het TSOLR-model (Trigonometric Seasonality in Ordinal Logistic Regression)

Dit model is geïnspireerd op TBATS en gebruikt Fourier-reeksen (sinus- en cosinusfuncties) om seizoenspatronen glad en continu te modelleren.

Kern: Een proportionele odds-logistieke regressie waarbij de cumulatieve kans $P(Y_t \leq j)$ wordt gemodelleerd.
Lineaire predictor ( $\eta_t$ ): Bevat Fourier-termen voor verschillende periodes ( $P_i$ ):
$\eta_t = \sum_{i=1}^{T} \left[ \beta_{1i} \cos\left(\frac{2\pi t}{P_i}\right) + \beta_{2i} \sin\left(\frac{2\pi t}{P_i}\right) \right] + X_t^T \gamma$
Waarbij $P_i$ de periode is (bijv. 7 voor wekelijks, 365 voor jaarlijks) en $\beta$ de Fourier-coëfficiënten zijn.
Voordeel: Kan complexe, gladde seizoensvariaties en hoge frequentie-evenementen (zoals festivalpieken) efficiënt modelleren met weinig parameters.

B. Het ISOLR-model (Indicator Seasonality in Ordinal Logistic Regression)

Dit is een alternatieve aanpak die indicatorvariabelen (dummy-variabelen) gebruikt in plaats van Fourier-reeksen.

Kern: Specifieke tijdssegmenten worden direct gecodeerd als binaire variabelen.
Voorbeelden van variabelen:
- Seizoenen (Zomer, Moesson, Winter).
- Festivals (Diwali-periode vs. niet-Diwali).
- Weekend vs. Werkdag.
Voordeel: Zeer interpreteerbaar en geschikt voor scherpe, abrupte veranderingen in de data die niet goed door een gladde sinusgolf worden weergegeven.

C. Schatting en Validatie

Schatting: Parameters worden geschat via Maximum Likelihood Estimation (MLE) door de log-likelihoodfunctie te maximaliseren.
Modelselectie: Gebruik van auto-associatiemaatstaven (zoals Cohens $\kappa$ , Cramers $\nu$ ) in plaats van traditionele autocorrelatie (ACF), aangezien de data categorisch is.
Vergelijking: De modellen worden vergeleken met:
- Traditionele tijdreeksmodellen: MTD (Mixture Transition Distribution) en PAR (Pegrams Autoregressive).
- Machine Learning: Random Forest, Support Vector Machines (SVM).
- Deep Learning: LSTM (Long Short-Term Memory).

3. Belangrijkste Bijdragen

Nieuw Kader: De eerste toepassing van TBATS-achtige trigonometrische seizoensmodellen binnen een ordinaal logistiek regressiekader voor categorieale tijdreeksen.
Dualiteit: Het bieden van twee complementaire benaderingen (TSOLR voor gladde patronen, ISOLR voor discrete patronen) om verschillende soorten seizoenspatronen in AQI-data te vangen.
Interpretatie: In tegenstelling tot "black-box" machine learning-modellen, behouden de voorgestelde modellen de statistische interpreteerbaarheid van de seizoenseffecten.
Empirisch Bewijs: Uitgebreide simulatiestudies die de consistentie van de parameterschattingen aantonen bij toenemende steekproefgrootte.

4. Resultaten

De modellen werden getest op dagelijkse AQI-data van Kolkata, India (2019-2024).

Simulatiestudies:
- De geschatte parameters van het TSOLR-model tonen empirische consistentie (de standaardfouten nemen af naarmate de steekproefgrootte toeneemt).
- In voorspellingsprestaties presteert het ISOLR-model lichtjes beter dan TSOLR in kleine steekproeven, maar het verschil wordt verwaarloosbaar bij grote steekproeven. Beide modellen zijn robuust.
Toepassing op Kolkata AQI-data:
- Beste Model: Het TSOLR-model behaalde de hoogste voorspellingsnauwkeurigheid (74,04%) en een gewogen F1-score van 74,07%.
- Vergelijking:
  - TSOLR en Fourier-gebaseerde SVM/LSTM modellen presteerden consistent beter dan hun tegenhangers met indicatorvariabelen.
  - Traditionele modellen (MTD, PAR) presteerden goed maar misten de flexibiliteit van exogene seizoenscovariaten.
  - Machine Learning-modellen (Random Forest) presteerden goed met indicatorvariabelen, maar hun prestaties daalden aanzienlijk wanneer Fourier-variabelen werden gebruikt, wat suggereert dat lineaire modellen beter geschikt zijn voor deze specifieke type patroonmodellering.
- Interpretatie: Het model slaagde erin om de verbetering van de luchtkwaliteit in de loop der jaren, de seizoensgebonden pieken in de winter en de impact van het Diwali-festival nauwkeurig te vangen.

5. Betekenis en Conclusie

De studie demonstreert dat het uitbreiden van TBATS-ideeën naar ordinaal logistieke regressie een krachtige, interpreteerbare en nauwkeurige methode is voor het voorspellen van categorieale tijdreeksen met meerdere seizoenspatronen.

Praktische Toepassing: De methoden zijn direct toepasbaar op milieudata (zoals luchtkwaliteit), maar ook op energieverbruik, verkeersdrukte en andere domeinen waar data in geordende categorieën wordt gerapporteerd.
Toekomstperspectief: De auteurs suggereren uitbreidingen zoals het opnemen van ruimtelijke afhankelijkheden (meerdere meetstations), het toevoegen van meer exogene variabelen (weersomstandigheden) en het gebruik van Bayesiaanse schatting voor robuustheid bij ruwe data.

Kortom, de paper biedt een brug tussen de complexe modellering van continue seizoenspatronen en de specifieke eisen van ordinaal categorische data, met een sterke focus op interpretatie en voorspellende kracht.