Forecasting of Multiple Seasonal Categorical Time Series Using Fourier Series with Application to AQI Data of Kolkata

A continuación presento un resumen técnico detallado del artículo en español, estructurado según los puntos solicitados:

Título: Modelado y Pronóstico de Múltiples Estacionalidades Complejas en Series Temporales Categóricas utilizando Modelos TSOLR e ISOLR

Autores: Anirban Ghosh y Raju Maiti (Instituto Estadístico de la India).

1. Planteamiento del Problema

Las series temporales con múltiples estacionalidades (patrones que se repiten simultáneamente a diferentes frecuencias, como diaria, semanal y anual) han sido ampliamente estudiadas en series continuas (ej. demanda eléctrica) mediante modelos como TBATS. Sin embargo, su tratamiento en series temporales categóricas, específicamente en datos del Índice de Calidad del Aire (AQI), es limitado.

El AQI se reporta en categorías ordinales (ej. Bueno, Satisfactorio, Moderado, Pobre, Muy Pobre, Severo) y exhibe patrones estacionales complejos influenciados por factores climáticos (monzones, invierno) y eventos antropogénicos (festividades como Diwali, fines de semana). Los métodos estándar para datos continuos no son aplicables directamente, y los modelos existentes para datos categóricos (Cadenas de Markov, modelos ML) a menudo fallan en capturar explícitamente estas múltiples estacionalidades o carecen de interpretabilidad.

2. Metodología Propuesta

Los autores proponen un marco basado en la extensión de la filosofía del modelo TBATS (Trigonometric seasonality, Box–Cox transformation, ARMA errors, Trend and Seasonal components) adaptado a la regresión logística ordinal. Se presentan dos modelos principales:

A. Modelo TSOLR (Trigonometric Seasonality in Ordinal Logistic Regression)

• Base: Utiliza una regresión logística de probabilidades proporcionales (modelo de odds proporcionales) para manejar la naturaleza ordenada de las categorías del AQI.
• Componente Estacional: Incorpora series de Fourier (términos trigonométricos de seno y coseno) como covariables en el predictor lineal ($\eta_t$).
• Ventaja: Permite modelar ciclos estacionales suaves y continuos (diarios, semanales, anuales) de manera paramétrica. Los coeficientes de Fourier reflejan directamente la contribución de cada ciclo.
• Ecuación clave:
  $$\text{logit}(P(Y_t \leq j)) = \theta_j - \sum_{i=1}^{T} [\beta_{1i} \cos(\frac{2\pi t}{P_i}) + \beta_{2i} \sin(\frac{2\pi t}{P_i})] + X_t^T \gamma$$
  Donde $P_i$ son los periodos estacionales (ej. 7 para semanal, 365 para anual).

B. Modelo ISOLR (Indicator Seasonality in Ordinal Logistic Regression)

• Base: También utiliza regresión logística ordinal.
• Componente Estacional: Utiliza funciones indicadoras (variables dummy) para codificar segmentos de tiempo específicos (ej. estaciones del año, periodo de Diwali, fines de semana).
• Ventaja: Captura cambios abruptos y formas estacionales irregulares (picos súbitos de contaminación) sin asumir suavidad sinusoidal.
• Desventaja: Requiere más parámetros y puede ser propenso al sobreajuste si no se regulariza.

Estimación y Validación

• Estimación: Se utiliza el método de Máxima Verosimilitud (MLE). La consistencia empírica de los estimadores se verifica mediante estudios de simulación.
• Selección de Orden: Se emplean medidas de auto-asociación para series categóricas (como el coeficiente $\kappa$ de Cohen, $\nu$ de Cramer y $\tau$ de Goodman-Kruskal) en lugar de la autocorrelación tradicional, para determinar el orden del modelo (lag).

3. Contribuciones Clave

1. Adaptación de TBATS a Datos Ordinales: Es uno de los primeros marcos que aplica explícitamente la lógica de múltiples estacionalidades de Fourier (típica de series continuas) a series temporales categóricas ordinales.
2. Comparativa de Enfoques: Ofrece una comparación sistemática entre la representación paramétrica suave (Fourier/TSOLR) y la no paramétrica discreta (Indicadores/ISOLR) en el contexto de la calidad del aire.
3. Interpretabilidad vs. Flexibilidad: Proporciona un modelo que mantiene la interpretabilidad estadística (a diferencia de las "cajas negras" de Deep Learning) mientras captura dinámicas complejas.
4. Análisis de Datos Reales: Aplica el modelo a datos reales del AQI de Kolkata (2019-2024), analizando patrones estacionales, efectos de festividades (Diwali) y tendencias de mejora en la calidad del aire.

4. Resultados

Estudios de Simulación

• Consistencia: Los estimadores de máxima verosimilitud mostraron consistencia empírica; los errores estándar disminuyeron a medida que aumentaba el tamaño de la muestra ($n=500, 1000, 10000$).
• Rendimiento de Pronóstico: En simulaciones, el modelo ISOLR mostró un rendimiento ligeramente superior al TSOLR en términos de precisión y puntuación F1 ponderada. Sin embargo, la diferencia fue mínima y disminuyó a medida que aumentaba el tamaño de la muestra, demostrando que TSOLR es robusto y adecuado para datos con efectos estacionales.

Análisis de Datos Reales (Kolkata)

• Comparación de Modelos: Se compararon TSOLR e ISOLR contra modelos tradicionales (MTD, PAR), Machine Learning (Random Forest, SVM) y Deep Learning (LSTM).
• Rendimiento: El modelo TSOLR logró el mejor rendimiento global con una precisión del 74.04% y una puntuación F1 ponderada del 74.07%.
• Hallazgos Específicos:
  • Los modelos basados en series de Fourier (TSOLR y SVM-Fourier) superaron consistentemente a sus contrapartes basadas en indicadores.
  • Los modelos de Machine Learning (Random Forest) vieron un descenso significativo en el rendimiento cuando se usaron características de Fourier en lugar de indicadores.
  • El modelo capturó eficazmente la estacionalidad anual (invierno vs. monzón) y los picos de contaminación durante la festividad de Diwali.

5. Significado e Impacto

• Avance Metodológico: El trabajo llena un vacío en la literatura al proporcionar un marco riguroso para modelar múltiples estacionalidades en datos categóricos ordinales, superando las limitaciones de las cadenas de Markov y los modelos de ML opacos.
• Aplicabilidad Práctica: La metodología es altamente útil para la monitorización de la calidad del aire, permitiendo a los responsables políticos y a la salud pública pronosticar días de mala calidad del aire con mayor precisión, considerando tanto ciclos regulares (semanales/anuales) como eventos irregulares (festividades).
• Interpretabilidad: A diferencia de las redes neuronales profundas, los modelos TSOLR/ISOLR permiten entender cómo afectan específicamente las estaciones o festividades a la probabilidad de transición entre categorías de AQI, facilitando la toma de decisiones basada en evidencia.
• Futuro: El estudio sugiere extensiones futuras hacia dependencias espaciales (múltiples estaciones de monitoreo), inclusión de variables exógenas (viento, humedad) y estimación bayesiana para manejar datos ruidosos.

En conclusión, el artículo demuestra que la incorporación de componentes estacionales trigonométricos en modelos de regresión logística ordinal es una estrategia superior para el pronóstico de series temporales categóricas complejas como el AQI, ofreciendo un equilibrio óptimo entre precisión predictiva e interpretabilidad estadística.