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Forecasting of Multiple Seasonal Categorical Time Series Using Fourier Series with Application to AQI Data of Kolkata

यह शोध पत्र एक नवीन ढांचे का प्रस्ताव करता है जो कोलकाता के वायु गुणवत्ता सूचकांक (AQI) डेटा के लिए पारंपरिक मार्कोव और मशीन लर्निंग विधियों की तुलना में बेहतर पूर्वानुमान सटीकता प्रदर्शित करते हुए, श्रेणीबद्ध समय श्रृंखला (categorical time series) में बहु-मौसमीता को मॉडल करने के लिए फूरियर श्रृंखला और संकेतक फलनों (indicator functions) को अनुकूलित करता है।

मूल लेखक: Anirban Ghosh, Raju Maiti

प्रकाशित 2026-03-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Anirban Ghosh, Raju Maiti

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप मौसम की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन "धूप" या "बारिश" के बजाय, आप वायु गुणवत्ता सूचकांक (AQI) की भविष्यवाणी कर रहे हैं। कोलकाता जैसे शहरों में, हवा की गुणवत्ता केवल एक नंबर नहीं है; यह एक श्रेणी है: अच्छी (Good), संतोषजनक (Satisfactory), मध्यम (Moderate), खराब (Poor), बहुत खराब (Very Poor), या गंभीर (Severe)।

समस्या यह है कि वायु गुणवत्ता केवल बेतरतीब ढंग से नहीं बदलती। इसमें लय (rhythms) होती है, जैसे दिल की धड़कन।

दैनिक लय (The Daily Beat): यह अक्सर कार्यदिवसों (weekdays) में बदतर होती है जब ट्रैफ़िक अधिक होता है और सप्ताहांत (weekends) पर बेहतर होती है।
मौसमी लय (The Seasonal Beat): यह सर्दियों में बहुत खराब होती है (कोहरे और हवा की कमी के कारण) लेकिन मानसून के दौरान बहुत अच्छी होती है (बारिश धूल को धो देती है)।
त्योहारों की लय (The Festival Beat): दिवाली जैसे त्योहारों के दौरान यह नाटकीय रूप से बढ़ जाती है क्योंकि पटाखों का धुआं होता है।

यह शोध पत्र इन जटिल लय को समझकर वायु गुणवत्ता श्रेणियों की भविष्यवाणी करने के लिए एक बेहतर "क्रिस्टल बॉल" (भविष्य बताने वाला गोला) बनाने के बारे में है।

पुराना तरीका बनाम नया तरीका

पुराना तरीका (एक "सीढ़ी" वाला दृष्टिकोण):
पारंपरिक रूप से, सांख्यिकीविदों ने मार्कोव चेन (Markov Chains) जैसे मॉडल का उपयोग किया है। एक सीढ़ी की कल्पना करें जहाँ आप केवल ऊपर या नीचे के पायदान पर ही कदम रख सकते हैं। ये मॉडल कल की वायु गुणवत्ता को देखते हैं और आज का अनुमान लगाते हैं।

दोष: वे एक कठोर रोबोट की तरह हैं। वे यह नहीं समझते कि हवा खराब क्यों है। उन्हें नहीं पता कि "सर्दियाँ" या "दिवाली" आने वाली है। वे बस "कल हवा खराब थी = आज भी हवा खराब होगी" के पैटर्न को देखते हैं। वे मौसम और त्योहारों की बड़ी तस्वीर को समझने में चूक जाते हैं।

नया तरीका ("संगीत और कैलेंडर" वाला दृष्टिकोण):
लेखक, अनिर्बान घोष और राजू मैती, दो नए मॉडल प्रस्तावित करते हैं जो बिजली के पूर्वानुमान के लिए उपयोग की जाने वाली एक प्रसिद्ध विधि TBATS से प्रेरित हैं। उन्होंने इसे वायु गुणवत्ता श्रेणियों के लिए अनुकूलित किया है। इसे कंप्यूटर को मौसमों का "संगीत सुनने" और कैलेंडर को "पढ़ने" के लिए सिखाने के रूप में समझें।

उन्होंने इस नए मॉडल के दो संस्करण बनाए:

1. TSOLR: "सुचारू संगीत" (Smooth Music) मॉडल

उपमा: कल्पना करें कि मौसम एक सुचारू, बहते हुए गीत की तरह है। सर्दी एक कम, गहरी धुन है; गर्मी एक ऊँची, उज्ज्वल धुन है।
यह कैसे काम करता है: यह मॉडल फूरियर सीरीज़ (Fourier Series) (साइन और कोसाइन तरंगों को मिलाने का एक फैंसी गणितीय शब्द) का उपयोग करके सुचारू वक्र (curves) खींचता है जो इन लय का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह ग्राफ पर एक चिकनी लहर खींचने जैसा है जो प्रदूषण के वार्षिक चक्र से मेल खाने के लिए ऊपर और नीचे जाती है।
यह क्यों शानदार है: यह क्रमिक परिवर्तनों को पकड़ने में माहिर है। यह समझता है कि जैसे-जैसे सर्दियों के करीब पहुँचते हैं, प्रदूषण धीरे-धीरे बदतर होता जाता है और जैसे-जैसे वसंत आता है, यह धीरे-धीरे बेहतर होता जाता है। यह "ऊँची धुनों" (अचानक उछाल) जैसे दिवाली के पटाखों को भी संभाल सकता है।

2. ISOLR: "कैलेंडर स्विच" (Calendar Switch) मॉडल

उपमा: एक कैलेंडर की कल्पना करें जिसमें बड़े, स्पष्ट स्विच हैं। एक स्विच कहता है "सर्दियाँ", दूसरा कहता है "दिवाली", तीसरा कहता है "सप्ताहांत"।
यह कैसे काम करता है: यह मॉडल इंडिकेटर फंक्शन्स (Indicator Functions) का उपयोग करता है। यह एक लाइट स्विच को चालू करने जैसा है। यदि आज दिवाली है, तो "दिवाली स्विच" चालू (1) है, और बाकी सब बंद (0) है।
यह क्यों शानदार है: यह बहुत सीधा है। यह चीजों को सुचारू बनाने की कोशिश नहीं करता; यह बस कहता है, "हे, आज त्योहार का दिन है, इसलिए प्रदूषण उच्च होगा!" यह अचानक, तीव्र परिवर्तनों के लिए बहुत अच्छा है।

प्रयोग: कौन जीता?

लेखकों ने कोलकाता के वास्तविक डेटा (2019-2024) का उपयोग करके अपने मॉडलों का परीक्षण किया। उन्होंने अपने नए मॉडलों की तुलना निम्नलिखित से की:

पुराना स्कूल: मार्कोव चेन (कठोर सीढ़ी)।
मशीन लर्निंग: रैंडम फॉरेस्ट (Random Forests) और न्यूरल नेटवर्क (वे "ब्लैक बॉक्स" कंप्यूटर जो पैटर्न के आधार पर अनुमान लगाते हैं लेकिन यह नहीं बताते कि क्यों)।

परिणाम:

विजेता: TSOLR (सुचारू संगीत) मॉडल सबसे अच्छा प्रदर्शन करने वाला रहा। इसने लगभग 74% बार वायु गुणवत्ता श्रेणी की सही भविष्यवाणी की।
उपविजेता: ISOLR (कैलेंडर स्विच) मॉडल दूसरे स्थान पर रहा।
आश्चर्य: "ब्लैक बॉक्स" मशीन लर्निंग मॉडल (जैसे रैंडम फॉरेस्ट) वास्तव में तब खराब प्रदर्शन करते थे जब उन्होंने सुचारू संगीत (फूरियर) दृष्टिकोण का उपयोग करने की कोशिश की। वे सुचारू लहरों से भ्रमित होते दिखे, जबकि नए सांख्यिकीय मॉडल उनमें फलते-फूलते रहे।

यह क्यों मायने रखता है?

यह व्याख्या योग्य (Interpretable) है: एक "ब्लैक बॉक्स" AI के विपरीत जो केवल उत्तर देता है, ये मॉडल आपको बताते हैं कि क्यों। आप गणित को देख सकते हैं और कह सकते हैं, "आह, मॉडल 'खराब' वायु गुणवत्ता की भविष्यवाणी कर रहा है क्योंकि 'सर्दियों की लहर' चरम पर है और 'दिवाली स्विच' चालू है।"
यह जटिलता को संभालता है: वास्तविक जीवन में एक साथ कई लय चल रही होती हैं (दैनिक ट्रैफ़िक + वार्षिक मौसम + एक बार होने वाले त्योहार)। ये मॉडल एक साथ उन सभी लय को संभाल सकते हैं।
यह व्यावहारिक है: बेहतर भविष्यवाणियों का अर्थ है बेहतर सार्वजनिक स्वास्थ्य चेतावनियाँ। यदि हम जानते हैं कि अगले सप्ताह हवा "गंभीर" होने वाली है, तो शहर निर्माण कार्य रोकने या लोगों को घर के अंदर रहने की सलाह देने के लिए तैयार हो सकते हैं।

निष्कर्ष (The Bottom Line)

वायु गुणवत्ता के पूर्वानुमान को ज्वार-भाटे (tides) की भविष्यवाणी करने जैसा समझें।

पुराने मॉडल केवल अभी जल स्तर को देखते थे और अगले स्तर का अनुमान लगाते थे।
नए मॉडल चंद्रमा के खिंचाव (मौसम), हवा (कार्यदिवस), और तूफान (त्योहारों) को समझते हैं।

कैलेंडर के तर्क को संगीत की लहरों की सुगमता के साथ जोड़कर, लेखकों ने एक ऐसा उपकरण बनाया है जो न केवल सटीक है बल्कि मनुष्यों के लिए समझना भी आसान है, जिससे भविष्य में हम थोड़ा बेहतर सांस ले सकेंगे।

यहाँ अनिरबान घोष और राजू मैती के शोध पत्र "Modelling and Forecasting of Complex Multiple Seasonalities in Categorical Time Series using TSOLR and ISOLR Models" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र कैटेगोरिकल टाइम सीरीज़ (Categorical Time Series) के मॉडलिंग और पूर्वानुमान की चुनौती को संबोधित करता है, जिसमें बहु-मौसमीता (Multiple Seasonalities) प्रदर्शित होती है।

संदर्भ: जबकि TBATS (Trigonometric seasonality, Box–Cox transformation, ARMA errors, Trend, and Seasonal components) जैसे मॉडल निरंतर (Continuous) टाइम सीरीज़ (जैसे बिजली की मांग) के लिए अच्छी तरह से स्थापित हैं, वे कैटेगोरिकल डेटा पर सीधे लागू नहीं होते हैं।
विशिष्ट अनुप्रयोग: अध्ययन का केंद्र वायु गुणवत्ता सूचकांक (AQI) है, जो निरंतर मानों के बजाय क्रमिक श्रेणियों (Good, Satisfactory, Moderate, Poor, Very Poor, Severe) में रिपोर्ट किया जाता है।
अंतराल (The Gap): शहरी वातावरण (विशेष रूप से कोलकाता, भारत) में AQI डेटा कई आवृत्तियों पर जटिल मौसमी पैटर्न प्रदर्शित करता है:
- साप्ताहिक (Weekly): कार्यदिवसों (Weekdays) और सप्ताहांत (Weekends) के बीच अंतर।
- वार्षिक/मौसमी (Yearly/Seasonal): ग्रीष्म ऋतु, मानसून, शरद ऋतु और शीत ऋतु के बीच भिन्नता।
- घटना-आधारित (Event-based): त्योहारों (जैसे दिवाली) के दौरान तीव्र उछाल।
मौजूदा विधियों की सीमाएँ:
- मार्कोव चेन (Markov Chains): स्टेट स्पेस बढ़ने पर मापदंडों के विस्फोट (Parameter explosion) से जूझते हैं और अक्सर कई मौसमी चक्रों को स्पष्ट रूप से कैप्चर करने में विफल रहते हैं।
- मशीन लर्निंग (RF, SVM, LSTM): अक्सर व्याख्यात्मकता (Interpretability) की कमी होती है और सांख्यिकीय रूप से सुदृढ़ तरीके से मौसमी संरचनाओं को स्पष्ट रूप से मॉडल नहीं करते हैं।
- मानक लॉजिस्टिक रिग्रेशन (Standard Logistic Regression): बिना 'एड-हॉक' कोवेरिएट चयन के जटिल, बहु-आवृत्ति मौसमीता को मॉडल करने में लचीलेपन की कमी होती है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक TBATS दर्शन का विस्तार करते हुए दो नवीन ढांचे प्रस्तावित करते हैं जो ऑर्डिनल लॉजिस्टिक रिग्रेशन (Ordinal Logistic Regression) पर आधारित हैं:

A. प्रस्तावित मॉडल

दोनों मॉडल AQI श्रेणियों की क्रमिक प्रकृति को संभालने के लिए एक प्रोपोर्शनल ऑड्स ऑर्डिनल लॉजिस्टिक रिग्रेशन (Proportional Odds Ordinal Logistic Regression) ढांचे का उपयोग करते हैं। संचयी संभावना (Cumulative probability) को इस प्रकार मॉडल किया जाता है:
$\text{logit}(P(Y_t \le j)) = \theta_j - \eta_t$
जहाँ $\eta_t$ एक लीनियर प्रेडिक्टर है जिसमें मौसमी घटक शामिल हैं।

TSOLR (Trigonometric Seasonality in Ordinal Logistic Regression):
- तंत्र (Mechanism): मौसमीता को मॉडल करने के लिए कोवेरिएट्स के रूप में फूरियर सीरीज़ (Fourier series) (साइन और कोसाइन पदों) का उपयोग करता है।
- सूत्र: $\eta_t = \sum [\beta_{1i} \cos(2\pi t/P_i) + \beta_{2i} \sin(2\pi t/P_i)] + X_t^T \gamma$ ।
- लाभ: यह सुचारू (Smooth), निरंतर मौसमी चक्रों (दैनिक, साप्ताहिक, वार्षिक) को कैप्चर करता है और उच्च-आवृत्ति वाली घटनाओं (जैसे त्योहारों) को एब्सोल्यूट साइन/कोसाइन पदों का उपयोग करके मॉडल करने की अनुमति देता है। यह संक्षिप्त (Parsimonious) और व्याख्या योग्य है।
ISOLR (Indicator Seasonality in Ordinal Logistic Regression):
- तंत्र (Mechanism): मौसमीता को मॉडल करने के लिए डमी (इंडिकेटर) वेरिएबल्स का उपयोग करता है।
- सूत्र: $\eta_t = \beta_1 \cdot \text{Summer}_t + \beta_2 \cdot \text{Monsoon}_t + \dots + \beta_5 \cdot \text{Weekend}_t + \beta_6 \cdot Y_{t-1}$ ।
- लाभ: यह वायु गुणवत्ता में अचानक, असतत बदलावों (जैसे दिवाली के दौरान अचानक उछाल या विशिष्ट शीत महीनों) को कैप्चर करता है, बिना सुचारू संक्रमण (Smooth transitions) की धारणा रखे।

B. अनुमान और चयन (Estimation and Selection)

अनुमान (Estimation): मापदंडों का अनुमान अधिकतम संभावना अनुमान (Maximum Likelihood Estimation - MLE) का उपयोग करके लगाया जाता है। अनुमानकों की एसिम्प्टोटिक नॉर्मलिटी (Asymptotic normality) को स्थापित किया गया है और विश्वास अंतराल (Confidence intervals) को ऑब्जर्व्ड फिशर इंफॉर्मेशन मैट्रिक्स (Hessian) से प्राप्त किया गया है।
ऑर्डर चयन (Order Selection): चूंकि कैटेगोरिकल डेटा के लिए मानक ACF लागू नहीं है, इसलिए लेखक उपयुक्त लैग ऑर्डर निर्धारित करने के लिए ऑटो-एसोसिएशन मापों (Cohen's $\kappa$ , Cramér's $\nu$ , Goodman-Kruskal's $\tau$ , आदि) का उपयोग करते हैं।

C. बेंचमार्किंग (Benchmarking)

प्रस्तावित मॉडलों की तुलना निम्नलिखित से की गई है:

पारंपरिक टाइम सीरीज़: MTD (Mixture Transition Distribution) और PAR (Pegram's Autoregressive) मॉडल।
मशीन लर्निंग: रैंडम फॉरेस्ट (Random Forests), सपोर्ट वेक्टर मशीन (SVM) और LSTM (Long Short-Term Memory) नेटवर्क।
फीचर वेरिएशंस: निष्पक्ष तुलना सुनिश्चित करने के लिए सभी ML मॉडलों का परीक्षण इंडिकेटर-आधारित और फूरियर-आधारित मौसमी फीचर्स के साथ किया गया था।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

कैटेगोरिकल डेटा के लिए TBATS का विस्तार: ऑर्डिनल लॉजिस्टिक रिग्रेशन के माध्यम से मल्टी-सीज़नल मॉडलिंग क्षमता को सफलतापूर्वक अनुकूलित किया गया।
दोहरा ढांचा (TSOLR और ISOLR): दो पूरक दृष्टिकोण प्रदान करता है: एक सुचारू मौसमी रुझानों (Fourier) के लिए और दूसरा असतत/अचानक बदलावों (Indicators) के लिए, जो डेटा की प्रकृति के आधार पर लचीलापन प्रदान करता है।
बहु-मौसमीता को संभालना: यह स्पष्ट रूप से सह-अस्तित्व वाले मौसमी चक्रों (साप्ताहिक, वार्षिक और घटना-आधारित) को मॉडल करता है, जो एक विशेषता है जिसे मानक मार्कोव मॉडल अक्सर छोड़ देते हैं।
व्याख्यात्मकता (Interpretability): "ब्लैक-बॉक्स" डीप लर्निंग मॉडल के विपरीत, प्रस्तावित लॉजिस्टिक रिग्रेशन मॉडल यह स्पष्ट सांख्यिकीय व्याख्या प्रदान करते हैं कि विशिष्ट मौसम या त्योहारों का AQI श्रेणियों पर क्या प्रभाव पड़ता है।
अनुभवजन्य सत्यापन (Empirical Validation): सिमुलेशन अध्ययनों के माध्यम से MLE अनुमानों की निरंतरता को सिद्ध किया गया और कोलकाता AQI डेटा पर इस दृष्टिकोण को मान्य किया गया।

4. परिणाम (Results)

सिमुलेशन अध्ययन (Simulation Studies)

निरंतरता (Consistency): जैसे-जैसे सैंपल साइज बढ़ा (500 से 10,000), मापदंड अनुमानों के स्टैंडर्ड एरर कम होते गए, जो TSOLR मॉडल की अनुभवजन्य निरंतरता की पुष्टि करते हैं।
पूर्वानुमान प्रदर्शन (Forecasting Performance): सिम्युलेटेड डेटा में, ISOLR मॉडल ने TSOLR से थोड़ा बेहतर प्रदर्शन किया, लेकिन अंतर नगण्य था और बड़े सैंपल साइज के साथ कम हो गया। यह सुझाव देता है कि TSOLR ऑर्डिनल डेटा के पूर्वानुमान के लिए पर्याप्त मजबूत है।

वास्तविक दुनिया का अनुप्रयोग (कोलकाता AQI डेटा, 2019–2024)

डेटा की विशेषताएं: विश्लेषण ने स्पष्ट मौसमी पैटर्न प्रकट किए:
- शीत ऋतु (Winter): "Poor" और "Very Poor" श्रेणियों की उच्च आवृत्ति।
- मानसून (Monsoon): "Good" और "Satisfactory" श्रेणियों का प्रभुत्व।
- दिवाली (Diwali): वायु गुणवत्ता में तीव्र, अल्पकालिक गिरावट।
- ट्रेंड (Trend): वर्षों के साथ वायु गुणवत्ता में सामान्य सुधार (कम "Severe" दिन)।
पूर्वानुमान सटीकता (टेस्ट सेट 2024):
- TSOLR ने उच्चतम प्रदर्शन प्राप्त किया: 74.04% सटीकता (Accuracy) और 74.07% वेटेड F1 स्कोर (Weighted F1 Score)।
- ISOLR ने निकटता से पीछा किया (72.95% सटीकता)।
- मशीन लर्निंग: फूरियर-आधारित SVM (73.50%) और LSTM (73.70%) के संस्करणों ने उनके इंडिकेटर-आधारित समकक्षों से बेहतर प्रदर्शन किया। विशेष रूप से, फूरियर फीचर्स का उपयोग करने पर रैंडम फॉरेस्ट का प्रदर्शन काफी गिर गया (65.85%), जो बताता है कि यह सुचारू ट्रिगोनोमेट्रिक टर्म्स के बजाय असतत इंडिकेटर्स को बेहतर तरीके से संभालता है।
- पारंपरिक मॉडल: MTD और PAR मॉडल इंडिकेटर-आधारित लॉजिस्टिक मॉडलों के समान प्रदर्शन करते हैं, लेकिन उनमें प्रभावी रूप से एक्सोजेनस (Exogenous) मौसमी कोवेरिएट्स को शामिल करने की क्षमता की कमी है।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

पद्धतिगत प्रगति (Methodological Advancement): यह शोध पत्र मल्टी-सीज़नल कैटेगोरिकल टाइम सीरीज़ के लिए एक कठोर, व्याख्या योग्य ढांचा प्रदान करके टाइम सीरीज़ साहित्य में एक महत्वपूर्ण अंतर को भरता है।
सार्वजनिक स्वास्थ्य उपयोगिता: ये मॉडल शहरी योजनाकारों और स्वास्थ्य अधिकारियों के लिए कार्रवाई योग्य अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। विशिष्ट मौसमों और त्योहारों (जैसे दिवाली) के प्रभाव को मात्रात्मक रूप से मापकर, ये मॉडल बेहतर प्रदूषण नियंत्रण रणनीतियों और सार्वजनिक स्वास्थ्य चेतावनियों का समर्थन कर सकते हैं।
लचीलापन: यह ढांचा केवल AQI तक सीमित नहीं है; यह ऊर्जा खपत श्रेणियों, यातायात भीड़ के स्तर या मौसम की गंभीरता सूचकांक जैसे किसी भी ऑर्डिनल टाइम सीरीज़ के लिए लागू किया जा सकता है।
भविष्य की दिशाएं: लेखक स्थानिक निर्भरता (Multiple monitoring stations) को शामिल करने, एक्सोजेनस मौसम संबंधी चरों (हवा, आर्द्रता) को जोड़ने और स्पार्स डेटा (Sparse data) के लिए बेयसियन अनुमान (Bayesian estimation) तलाशने का सुझाव देते हैं।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि TSOLR (फूरियर-आधारित) और ISOLR (इंडिकेटर-आधारित) मॉडल, जटिल मौसमी पैटर्न के पूर्वानुमान के लिए पूर्वानुमान सटीकता और व्याख्यात्मकता के बीच एक बेहतर संतुलन प्रदान करते हैं, जो वायु गुणवत्ता सूचकांक के संदर्भ में पारंपरिक मार्कोव मॉडल और कई मशीन लर्निंग बेंचमार्क से बेहतर प्रदर्शन करते हैं।