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Forecasting of Multiple Seasonal Categorical Time Series Using Fourier Series with Application to AQI Data of Kolkata

Cet article propose un cadre novateur utilisant des séries de Fourier pour modéliser et prévoir les séries temporelles catégorielles à saisonnalités multiples, tel que l'indice de qualité de l'air de Kolkata, en démontrant une précision prédictive supérieure par rapport aux modèles de Markov et aux méthodes d'apprentissage automatique.

Auteurs originaux : Anirban Ghosh, Raju Maiti

Publié 2026-03-05

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Anirban Ghosh, Raju Maiti

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous essayez de prédire la météo de la pollution à Kolkata, en Inde, mais au lieu de donner un chiffre précis (comme "35 microgrammes de poussière"), vous devez dire si l'air sera "Bon", "Moyen", "Mauvais" ou "Très Mauvais". C'est ce qu'on appelle une série chronologique catégorielle.

Le problème, c'est que la pollution ne suit pas une seule règle. Elle a plusieurs "rythmes" en même temps, un peu comme une chanson qui a à la fois un rythme quotidien, un rythme hebdomadaire et un rythme annuel.

Voici l'explication de cette recherche, simplifiée et imagée :

1. Le Problème : La Pollution a plusieurs "Horloges"

Dans le passé, les scientifiques utilisaient des modèles très sophistiqués (comme le modèle TBATS) pour prédire la consommation d'électricité. Ces modèles sont excellents pour gérer plusieurs rythmes à la fois (le pic du matin, le pic du week-end, le pic de l'hiver).

Mais ces modèles sont conçus pour des nombres continus (comme 1000 kWh). Or, l'indice de qualité de l'air (AQI) est une catégorie (comme des couleurs : Vert, Jaune, Rouge). On ne peut pas simplement appliquer les mêmes formules mathématiques. C'est comme essayer de mesurer la température avec une règle en bois : ça ne fonctionne pas bien.

De plus, la pollution à Kolkata a des cycles complexes :

Le cycle hebdomadaire : L'air est souvent plus propre le week-end (moins de voitures).
Le cycle annuel : L'hiver est très pollué, la mousson (pluies) nettoie l'air.
Le cycle "Fête" : Pendant Diwali (la fête des lumières), la pollution explose soudainement à cause des feux d'artifice, puis retombe.

2. La Solution : Deux nouvelles recettes (TSOLR et ISOLR)

Les auteurs, Anirban Ghosh et Raju Maiti, ont inventé deux nouvelles méthodes pour prédire ces catégories en s'inspirant de la musique et des calendriers.

A. La méthode "Musique" (TSOLR)

Imaginez que la pollution est une mélodie. Cette méthode utilise des ondes sinusoïdales (des courbes douces comme des vagues) pour dessiner les cycles.

L'analogie : C'est comme si vous utilisiez un synthétiseur pour recréer le son de la pollution. Vous ajoutez une onde pour le cycle de la semaine, une autre pour l'année, et une troisième pour les pics de fêtes.
L'avantage : C'est très fluide. Cela permet de capturer des changements progressifs et des cycles réguliers avec une grande précision, comme si on suivait une courbe lisse sur un graphique.

B. La méthode "Calendrier" (ISOLR)

Cette méthode est plus directe. Au lieu de dessiner des courbes, elle utilise des interrupteurs (des indicateurs).

L'analogie : C'est comme un calendrier mural où vous collez des post-it.
- "Est-ce l'hiver ?" -> Oui -> Allumez l'interrupteur Hiver.
- "Est-ce Diwali ?" -> Oui -> Allumez l'interrupteur Fête.
- "Est-ce le week-end ?" -> Oui -> Allumez l'interrupteur Week-end.
L'avantage : C'est très facile à comprendre. On sait exactement quel facteur (hiver, fête, week-end) pousse la pollution vers le haut ou le bas. C'est parfait pour les changements brusques, comme un pic soudain de pollution pendant une fête.

3. Le Test : Qui gagne la course ?

Les chercheurs ont testé ces deux méthodes sur des données réelles de Kolkata (2019-2024) et les ont comparées à des méthodes classiques (comme les chaînes de Markov) et à des intelligences artificielles complexes (comme les réseaux de neurones).

Résultat : Les deux nouvelles méthodes (TSOLR et ISOLR) sont excellentes.
Le vainqueur surprise : La méthode "Musique" (TSOLR) a légèrement devancé la méthode "Calendrier" et les autres IA. Pourquoi ? Parce qu'elle est capable de voir les détails fins et les cycles complexes que les autres méthodes manquent, un peu comme un chef d'orchestre qui entend chaque instrument, pas juste le rythme général.

4. Pourquoi est-ce important ?

Avant, prédire la qualité de l'air était soit trop simple (on disait juste "ça va changer"), soit trop complexe (des boîtes noires d'IA qu'on ne comprenait pas).

Cette recherche offre une boîte à outils claire et flexible :

Précision : On prédit mieux si l'air sera "Mauvais" ou "Très Mauvais".
Compréhension : On sait pourquoi on fait cette prédiction (à cause de l'hiver, d'une fête, etc.).
Utilité : Cela aide les gouvernements à mieux préparer les alertes pollution pour protéger la santé des gens.

En résumé : Les auteurs ont pris une méthode musicale complexe (TBATS), l'ont adaptée pour qu'elle puisse "chanter" avec des catégories (comme des couleurs d'air), et ont prouvé que c'est la meilleure façon de prédire quand l'air de Kolkata va devenir irrespirable. C'est un mélange parfait de mathématiques élégantes et de logique simple.

1. Problématique et Contexte

La prévision des séries temporelles à composantes saisonnières multiples (par exemple, cycles journaliers, hebdomadaires et annuels) est bien maîtrisée pour les données continues (comme la demande électrique) grâce à des modèles tels que TBATS (Trigonometric seasonality, Box–Cox transformation, ARMA errors, Trend and Seasonal components).

Cependant, l'application de ces concepts aux séries temporelles catégorielles ordinales, telles que l'Indice de Qualité de l'Air (IQA ou AQI), reste limitée. L'IQA est souvent rapporté sous forme de catégories ordonnées (ex: Bon, Satisfaisant, Moyen, Mauvais, Très Mauvais, Sévère). Les défis majeurs incluent :

L'inapplicabilité directe des modèles continus (qui supposent des erreurs additives et des observations continues).
La difficulté à capturer explicitement des saisonnalités multiples (quotidiennes, hebdomadaires, annuelles et liées aux festivals) dans un cadre catégoriel.
Le manque d'interprétabilité des méthodes d'apprentissage automatique (forêts aléatoires, réseaux de neurones) qui, bien que performantes, agissent souvent comme des « boîtes noires ».

L'objectif de l'étude est de proposer un cadre de modélisation flexible et interprétable pour la prévision de l'IQA catégoriel à Kolkata, en Inde, en intégrant des multiples saisonnalités.

2. Méthodologie Proposée

Les auteurs proposent deux extensions du cadre TBATS adaptées aux modèles de régression logistique ordinaire (Ordinal Logistic Regression - OLR) :

A. Le modèle TSOLR (Trigonometric Seasonality in Ordinal Logistic Regression)

Ce modèle s'inspire directement de la composante trigonométrique de TBATS.

Structure : Il utilise un modèle de régression logistique à cotes proportionnelles (Proportional Odds Model).
Saisonnalité : Les composantes saisonnières sont modélisées via des séries de Fourier (termes sinusoïdaux et cosinus) incluses comme covariables dans le prédicteur linéaire.
Avantage : Permet de capturer des cycles saisonniers lisses et continus (hebdomadaires, annuels) et des événements à haute fréquence de manière paramétrique.
Formulation : La probabilité cumulative $P(Y_t \le j)$ est liée à un prédicteur linéaire $\eta_t$ contenant des termes $\beta \cos(2\pi t/P_i) + \beta \sin(2\pi t/P_i)$ .

B. Le modèle ISOLR (Indicator Seasonality in Ordinal Logistic Regression)

Ce modèle est une alternative non paramétrique.

Structure : Également basé sur la régression logistique à cotes proportionnelles.
Saisonnalité : Utilise des variables indicatrices (dummy variables) pour encoder des segments temporels spécifiques (ex: saisons, jours de la semaine, période de Diwali, week-ends).
Avantage : Capture des changements abrupts et des formes saisonnières irrégulières (comme les pics soudains de pollution lors des festivals) que les séries de Fourier pourraient lisser excessivement.

C. Comparaison avec d'autres méthodes

Pour évaluer la performance, les auteurs comparent leurs modèles avec :

Des modèles de Markov classiques (Chaînes de Markov, MTD, PAR) qui ne gèrent pas bien les covariables externes.
Des méthodes d'apprentissage automatique : Forêts Aléatoires (Random Forest), Machines à Vecteurs de Support (SVM) et Réseaux de Neurones Récurrents (LSTM), testés avec deux types d'encodage de saisonnalité (indicateurs vs Fourier).

3. Contributions Clés

Adaptation de TBATS aux données ordinales : Première extension systématique de la logique TBATS (séries de Fourier) vers le domaine des séries temporelles catégorielles ordinales via la régression logistique.
Cadre dual (TSOLR vs ISOLR) : Offre une flexibilité pour choisir entre une modélisation lisse (Fourier) ou discrète (Indicateurs) selon la nature des données saisonnières.
Interprétabilité : Contrairement aux modèles de Deep Learning, les coefficients des modèles TSOLR/ISOLR sont directement interprétables (impact d'un cycle spécifique sur la probabilité de changer de catégorie).
Validation empirique : Démonstration de la consistance asymptotique des estimateurs du maximum de vraisemblance (MLE) via des études de simulation.

4. Résultats Expérimentaux

Études de Simulation

Consistance : Les simulations montrent que les erreurs standards des paramètres estimés diminuent à mesure que la taille de l'échantillon augmente, confirmant la consistance des estimateurs MLE pour le modèle TSOLR.
Performance de prévision : Bien que le modèle ISOLR (indicateurs) ait légèrement surperformé le TSOLR dans certaines configurations simulées, l'écart est minime et diminue avec la taille de l'échantillon. Les deux modèles sont jugés robustes pour la prévision de données catégorielles saisonnières.

Analyse des Données Réelles (Kolkata, 2019-2024)

Données : IQA quotidien catégoriel de Kolkata.
Métriques : Précision (Accuracy) et Score F1 pondéré.
Résultats principaux :
- Le modèle TSOLR a obtenu les meilleures performances globales (74,04 % de précision et 74,07 % de F1 pondéré), surpassant légèrement le modèle ISOLR (72,95 %).
- Les modèles basés sur les séries de Fourier (TSOLR, SVM-Fourier, LSTM-Fourier) ont généralement surpassé leurs homologues basés sur les indicateurs, suggérant que la structure saisonnière de l'IQA à Kolkata bénéficie d'une modélisation lisse des cycles.
- Les modèles d'apprentissage automatique (Random Forest, SVM, LSTM) ont montré des performances compétitives, mais le modèle TSOLR offre un meilleur compromis entre performance et interprétabilité.
- Les modèles traditionnels (MTD, PAR) sans covariables saisonnières explicites ont sous-performé par rapport aux modèles intégrant la saisonnalité.

5. Signification et Implications

Gestion de la qualité de l'air : Ce cadre fournit aux décideurs publics un outil robuste pour anticiper les dégradations de la qualité de l'air (ex: pics hivernaux ou liés à Diwali) avec une probabilité catégorielle claire.
Flexibilité méthodologique : L'article démontre que les techniques avancées de modélisation de saisonnalité (comme TBATS) peuvent être transposées avec succès aux données discrètes ordinales, comblant un vide dans la littérature statistique.
Interprétabilité vs Performance : Il démontre qu'il n'est pas nécessaire de sacrifier l'interprétabilité pour obtenir une haute précision de prévision dans ce contexte ; les modèles linéaires généralisés avec termes saisonniers sophistiqués peuvent rivaliser avec les réseaux de neurones complexes.

En conclusion, cette étude propose une approche statistique rigoureuse et interprétable pour la prévision de l'IQA, en exploitant la structure de multiples saisonnalités via des modèles de régression logistique ordinaire enrichis de composantes trigonométriques ou indicatrices.