Forecasting of Multiple Seasonal Categorical Time Series Using Fourier Series with Application to AQI Data of Kolkata

Resumo Técnico: Modelagem e Previsão de Sazonalidades Múltiplas em Séries Temporais Categóricas

1. Problema e Motivação

A previsão de séries temporais com múltiplas sazonalidades (ex: ciclos diários, semanais e anuais simultâneos) é bem estabelecida para dados contínuos, utilizando modelos como o TBATS (Trigonometric seasonality, Box–Cox transformation, ARMA errors, Trend and Seasonal components). No entanto, a aplicação desses conceitos a séries temporais categóricas ordinais, como o Índice de Qualidade do Ar (IQA/AQI), permanece limitada.

• Desafio: O IQA é reportado em categorias ordenadas (Ex: Bom, Satisfatório, Moderado, Ruim, Muito Ruim, Severo). Modelos contínuos padrão não são diretamente aplicáveis, e métodos existentes (como Cadeias de Markov) muitas vezes falham em capturar explicitamente múltiplos ciclos sazonais ou sofrem com a explosão de parâmetros.
• Objetivo: Desenvolver um framework que modele explicitamente múltiplas sazonalidades em dados categóricos ordinais, mantendo a interpretabilidade e a estrutura dos dados.

2. Metodologia Proposta

Os autores propõem duas extensões do conceito TBATS adaptadas para regressão logística ordinal (Proporcional Odds), denominadas TSOLR e ISOLR:

• TSOLR (Trigonometric Seasonality in Ordinal Logistic Regression):

  • Baseia-se em uma regressão logística ordinal proporcional.
  • Incorpora séries de Fourier (termos senoidais e cossenoidais) como covariáveis no preditor linear para capturar sazonalidades suaves e contínuas em múltiplas frequências (diária, semanal, anual).
  • Permite modelar ciclos complexos e variações graduais, inspirado na estrutura trigonométrica do TBATS.
  • Equação chave: $\text{logit}(P(Y_t \le j)) = \theta_j - \sum [\beta_{1i} \cos(2\pi t/P_i) + \beta_{2i} \sin(2\pi t/P_i)] + X_t^T \gamma$.

• ISOLR (Indicator Seasonality in Ordinal Logistic Regression):

  • Alternativa que utiliza funções indicadoras (variáveis dummy) para capturar sazonalidades.
  • Codifica segmentos de tempo específicos (ex: dias de semana vs. fim de semana, estações do ano, períodos festivos como Diwali) de forma não paramétrica.
  • Permite capturar mudanças abruptas e formas sazonais irregulares que séries de Fourier podem suavizar excessivamente.

• Estimação: Os parâmetros são estimados via Máxima Verossimilhança (MLE). A consistência empírica dos estimadores é validada através de estudos de simulação.

3. Estudo de Caso e Dados

• Dados: IQA diário de Calcutá (Kolkata), Índia, de 2019 a 2024.
• Pré-processamento: Os valores numéricos do IQA foram mapeados para 6 categorias ordinais (0 a 5).
• Análise Exploratória: Identificou-se forte sazonalidade:
  • Anual: Pior qualidade no inverno (inversão térmica) e melhor no monção.
  • Semanal: Variações entre dias úteis e fins de semana.
  • Eventos Específicos: Picos significativos de poluição durante o festival Diwali.

4. Resultados Principais

• Estudos de Simulação:

  • Demonstraram a consistência empírica dos estimadores de máxima verossimilhança: o erro padrão diminui conforme o tamanho da amostra aumenta.
  • Comparação de desempenho de previsão: O modelo ISOLR (indicadores) apresentou desempenho ligeiramente superior ao TSOLR (Fourier) em amostras menores, mas a diferença tornou-se insignificante com o aumento do tamanho da amostra, validando a eficácia de ambos.

• Aplicação Real (Calcutá):

  • Desempenho de Previsão: O modelo TSOLR obteve a melhor performance geral, com 74,04% de acurácia e 74,07% de F1 ponderado, superando o ISOLR (72,95%) e outros modelos de referência.
  • Comparação com Outros Modelos:
    • Modelos clássicos (MTD, PAR) e de Machine Learning (Random Forest, SVM, LSTM) foram testados.
    • Descoberta Crucial: Modelos baseados em séries de Fourier (TSOLR e SVM-Fourier) superaram consistentemente suas contrapartes baseadas em indicadores (ISOLR e SVM-Indicator).
    • O Random Forest, por exemplo, teve queda significativa de desempenho quando usado com características de Fourier, sugerindo que a estrutura linear da regressão logística ordinal é mais adequada para capturar a periodicidade suave das séries de Fourier neste contexto.

5. Contribuições Chave

1. Inovação Metodológica: Adaptação bem-sucedida da lógica do modelo TBATS (tradicionalmente para dados contínuos) para séries temporais categóricas ordinais, criando os modelos TSOLR e ISOLR.
2. Flexibilidade e Interpretabilidade: Oferece um framework que não apenas prevê com alta acurácia, mas também permite a interpretação direta dos efeitos sazonais (através dos coeficientes de Fourier ou das variáveis dummy), algo que modelos de "caixa preta" (como Redes Neurais profundas) não fazem facilmente.
3. Validação Empírica: Demonstra que a modelagem explícita de múltiplas sazonalidades é superior a abordagens puramente baseadas em Markov ou ML genérico para dados de qualidade do ar.

6. Significado e Implicações

O trabalho estabelece que a modelagem de sazonalidades múltiplas em dados categóricos não precisa depender de métodos complexos e pouco interpretáveis. A abordagem proposta é:

• Eficiente: Captura dinâmicas complexas (diárias, semanais, anuais e eventos pontuais) com poucos parâmetros.
• Aplicável: Útil para monitoramento de qualidade do ar, gestão de energia e outras áreas ambientais onde os dados são ordinais.
• Direção Futura: Os autores sugerem extensões para dependências espaciais (múltiplas estações de monitoramento), inclusão de variáveis exógenas (umidade, vento) e estimação Bayesiana para lidar com dados esparsos.

Em resumo, o artigo fornece uma solução robusta e interpretável para prever a qualidade do ar em categorias, demonstrando que a combinação de regressão logística ordinal com componentes sazonais trigonométricos (TSOLR) é superior a métodos tradicionais e de aprendizado de máquina padrão para este tipo específico de dado.