On Ramanujan Primes for Hecke-Maass Cusp Forms

기술적 요약: 헤케-마아스 댐형식에 대한 라마누잔 소수에 관하여

문제 제기
원시 헤케-마아스 댐형식 $\phi$에 대한 라마누잔 추측은 레벨 $N$을 나누지 않는 임의의 소수 $p$에 대해 $p$번째 헤케 고유값 $\lambda_\phi(p)$가 엄밀한 상계 $|\lambda_\phi(p)| \le 2$를 만족한다고 주장한다. 비록 이는 일반적으로 여전히 미해결 문제이며 (최고의 알려진 상계는 Kim 과 Sarnak 에 의해 제시된 $|\lambda_\phi(p)| \le p^{7/64} + p^{-7/64}$임), Luo 와 Zhou [LZ19] 는 이전에 소수 집합 $RP(\phi) = \{p \nmid N : |\lambda_\phi(p)| \le 2\}$의 하한 자연밀도가 적어도 $34/35$임을 입증하였다. 또한 그들은 $RP(\phi)$ 내의 최소 소수가 해석적 콘덕터의 거듭제곱으로 상계됨을 보였다.

본 논문은 이러한 연구를 여러 개의 서로 다른 원시 헤케-마아스 댐형식의 맥락으로 확장한다. 저자들은 두 가지 주요 질문에 답한다:

1. 동시 발생: 라마누잔 추측이 두 개 또는 세 개의 서로 다른 형식에 대해 동시에 성립하는 최소 소수 $p$의 상계는 무엇인가?
2. 합집합 밀도: 주어진 유한 (또는 무한) 한 서로 다른 형식들의 집합에서 적어도 하나의 형식에 대해 라마누잔 추측이 성립하는 소수 집합의 하한 자연밀도는 무엇인가?

방법론
본 논문은 댐형식과 관련된 $L$-함수의 성질에 중점을 둔 해석적 정수론 기법을 활용한다.

• 최소 소수 상계 (정리 1 및 2):
  저자들은 켤레 제곱 $L$-함수 $L(s, \text{Ad}(\phi))$의 해석적 성질과 결합된 "체질 (sieving)" 방법을 활용한다.

  • 그들은 켤레 $L$-함수들의 곱의 디리클레 계수를 포함하는 합 $S(x)$를 정의한다.
  • 중요한 관찰은 라마누잔 추측이 $p$에서 실패할 경우 (즉, $|\lambda_\phi(p)| > 2$), 꼬임 헤케 고유값 $\lambda_\phi(p^2)\chi_\phi(p)$가 커야 한다는 점이다 (구체적으로 $> 3$).
  • 특정 곱셈 함수 $h(n)$을 구성하고 $L(s, \text{Ad}(\phi))$에 대한 볼록성 상계를 활용함으로써, 저자들은 경로 적분을 통해 $S(x)$에 대한 상계를 유도하고 체질 가중치의 양수성을 통해 하한을 유도한다.
  • 증명은 고유값의 특정 선형 결합의 비소멸에 의존한다. 두 개의 형식의 경우, 두 형식 모두에 대해 추측이 실패할 경우 그들의 꼬임 고유값의 합이 양수임을 보인다; 세 개의 형식의 경우, 유사하지만 구별되는 선형 결합을 사용한다. 저자들은 네 개 이상의 형식에 대해서는 이 특정 논증이 합계의 양수성을 보장할 수 없기 때문에 실패한다고 지적한다.

• 밀도 상계 (정리 3 및 4):
  접근 방식은 란킨-셀버그 $L$-함수와 영점 자유 영역을 이용하여 소수의 분포를 분석하는 것으로 전환된다.

  • 저자들은 꼬임 대칭 네제곱 $A_4(\phi) = \text{Sym}^4(\phi) \otimes \chi_\phi^2$와 대칭 세제곱 $\text{Sym}^3(\phi)$을 도입한다.
  • 그들은 서로 다른 형식 $\phi_1, \phi_2$에 대해 관련 자동형 표현 (구체적으로 $\text{Ad}(\phi)$와 $A_4(\phi)$) 이 서로 다름을 입증한다.
  • Thorner 와 Zhao [TZ26] 의 란킨-셀버그 $L$-함수 $L(s, \text{Ad}(\phi_1) \times \text{Ad}(\phi_2))$ 및 $L(s, \text{Ad}(\phi_1) \times A_4(\phi_2))$에 대한 랜드오-실게로 영점 부재에 관한 최근 결과를 활용하여, 저자들은 계수 $A_\phi(p)$와 $A^{[4]}_\phi(p)$의 교차 상관 합이 $o(\pi(X))$임을 증명한다.
  • 그들은 이러한 계수들을 사용하여 음이 아닌 다항식 $U(p)$를 구성한다. $U(p)$를 전개하고 자동형 $L$-함수에 대한 소수 정리를 적용함으로써, 그들은 집합 내 모든 형식에 대해 라마누잔 추측이 실패하는 소수의 밀도를 상계한다.

주요 기여 및 결과

1. 최소 동시 라마누잔 소수에 대한 상계:

   • 정리 1: 두 개의 서로 다른 원시 헤케-마아스 댐형식 $\phi_1, \phi_2$에 대해, $p \in RP(\phi_1) \cap RP(\phi_2)$인 소수 $p$가 존재하여 다음을 만족한다:
     $$p \ll [N_1 N_2 (1+|t_{\phi_1}|)(1+|t_{\phi_2}|)]^{0.447374}$$
   • 정리 2: 세 개의 서로 다른 형식 $\phi_1, \phi_2, \phi_3$에 대해, $p \in \bigcap_{i=1}^3 RP(\phi_i)$인 소수 $p$가 존재하여 다음을 만족한다:
     $$p \ll [N_1 N_2 N_3 \prod_{i=1}^3 (1+|t_{\phi_i}|)]^{0.778798}$$
   • 저자들은 네 개 이상의 형식에 대해서는 관련 고유값 합계의 양수성을 보장할 수 없기 때문에 그들의 방법이 확장되지 않는다고 명시적으로 언급한다.

2. 자연밀도에 대한 개선된 하한:

   • 정리 3: 두 개의 서로 다른 형식 $\phi_1, \phi_2$에 대해 (그들의 라마누잔 소수 집합이 유한 집합을 제외하고 동일하지 않다고 가정할 때), 합집합의 하한 자연밀도는 다음을 만족한다:
     $$\underline{d}(RP(\phi_1) \cup RP(\phi_2)) \ge \frac{43}{44}$$
     이는 개별 밀도에서 유도된 $34/35$의 자명한 상계를 개선한 것이다.
   • 정리 4: $m$개의 서로 다른 형식들의 유한한 가족 $\{\phi_i\}_{i=1}^m$에 대해, 합집합의 하한 자연밀도는 다음으로 상계된다:
     $$\underline{d}\left(\bigcup_{j=1}^m RP(\phi_j)\right) \ge 1 - \frac{1}{26 + 9m}$$
   • 계 1: 서로 다른 형식들의 무한한 가족에 대해, 합집합의 자연밀도는 정확히 1 이다. 이는 자연밀도의 의미에서 거의 모든 소수에 대해 라마누잔 추측이 가족 내 적어도 하나의 형식에 대해 성립함을 의미한다.

의의 및 주장
본 논문은 다중 형식 설정에서 라마누잔 추측을 만족하는 소수의 분포에 대한 이해를 진전시킨다고 주장한다. 단일 형식 분석에서 동시 및 합집합 분석으로 이동함으로써, 저자들은 "나쁜" 소수 (추측이 실패하는 곳) 가 여러 형식을 고려할 때 점점 희소해짐을 보여준다.

의의는 다음과 같다:

• 형식들의 쌍과 삼중체에 대한 동시 라마누잔 소수의 첫 번째 발생에 대한 명시적 정량적 상계를 제공한다.
• 서로 다른 형식들의 라마누잔 소수 집합의 합집합이 개별 집합보다 소수의 훨씬 더 큰 비율을 커버하며, 가족 크기가 증가함에 따라 밀도가 1 에 접근함을 입증한다.
• [TZ26] 을 통해 특정 란킨-셀버그 $L$-함수의 비소멸을 활용하여 밀도 추정을 정교화하는 기법을 두 개 형식에서 임의의 유한 가족으로 일반화한다.

저자들은 현재 방법의 한계에 대해 겸손하게 언급하며, 최소 소수 상계에 대한 네 개 이상의 형식으로의 확장은 관련 고유값 합계에 대한 양수성 논증의 실패로 인해 현재 방해받고 있음을 지적한다. 마찬가지로, 그들은 유한 가족에 대한 밀도 상계 (구체적으로 계수 $26+9m$) 를 더 개선하려면 $L(s, A_4(\phi_1) \times A_4(\phi_2))$에 대한 영점 자유 영역을 확립해야 하는데, 이는 현재 도달 불가능한 상태라고 언급한다.