On Ramanujan Primes for Hecke-Maass Cusp Forms

Resumen Técnico: Sobre Primos de Ramanujan para Formas Cuspales de Hecke-Maass

Planteamiento del Problema
La conjetura de Ramanujan para una forma cuspal primitiva de Hecke-Maass $\phi$ afirma que, para cualquier primo $p$ que no divide al nivel $N$, el $p$-ésimo valor propio de Hecke $\lambda_\phi(p)$ satisface la cota aguda $|\lambda_\phi(p)| \le 2$. Aunque esto sigue siendo un problema abierto en general (siendo la mejor cota conocida $|\lambda_\phi(p)| \le p^{7/64} + p^{-7/64}$ debido a Kim y Sarnak), Luo y Zhou [LZ19] establecieron previamente que el conjunto de primos $RP(\phi) = \{p \nmid N : |\lambda_\phi(p)| \le 2\}$ tiene una densidad natural inferior de al menos $34/35$. Además, demostraron la existencia de un primo mínimo en $RP(\phi)$ acotado por una potencia del conductor analítico.

Este artículo extiende estas investigaciones al contexto de múltiples formas cuspales primitivas de Hecke-Maass distintas. Los autores abordan dos preguntas principales:

1. Ocurrencia Simultánea: ¿Cuál es la cota superior para el primo mínimo $p$ en el cual la conjetura de Ramanujan se cumple simultáneamente para dos o tres formas distintas?
2. Densidad de la Unión: ¿Cuál es la densidad natural inferior del conjunto de primos en los que la conjetura de Ramanujan se cumple para al menos una forma en una familia dada (finita o infinita) de formas distintas?

Metodología
El artículo emplea técnicas de teoría de números analíticas centradas en las propiedades de las funciones $L$ asociadas a las formas cuspales.

• Para Cotas de Primos Mínimos (Teoremas 1 y 2):
  Los autores utilizan el método de "criba" combinado con las propiedades analíticas de las funciones $L$ del cuadrado adjunto, $L(s, \text{Ad}(\phi))$.

  • Definen una suma $S(x)$ que involucra los coeficientes de Dirichlet del producto de las funciones $L$ adjuntas.
  • Una observación crucial es que si la conjetura de Ramanujan falla en $p$ (es decir, $|\lambda_\phi(p)| > 2$), entonces el valor propio de Hecke torcido $\lambda_\phi(p^2)\chi_\phi(p)$ debe ser grande (específicamente $> 3$).
  • Mediante la construcción de una función multiplicativa específica $h(n)$ y utilizando las cotas de convexidad para $L(s, \text{Ad}(\phi))$, los autores derivan una cota superior para $S(x)$ mediante integración de contorno y una cota inferior mediante la positividad de los pesos de la criba.
  • La prueba se basa en la no anulación de combinaciones lineales específicas de valores propios. Para dos formas, se demuestra que la suma de sus valores propios torcidos es positiva si la conjetura falla para ambas; para tres formas, se utiliza una combinación lineal similar pero distinta. Los autores señalan que este argumento específico falla para cuatro o más formas porque no se puede garantizar la positividad de la suma.

• Para Cotas de Densidad (Teoremas 3 y 4):
  El enfoque cambia hacia el análisis de la distribución de primos utilizando funciones $L$ de Rankin-Selberg y regiones libres de ceros.

  • Los autores introducen la cuarta potencia simétrica torcida $A_4(\phi) = \text{Sym}^4(\phi) \otimes \chi_\phi^2$ y la tercera potencia simétrica $\text{Sym}^3(\phi)$.
  • Establecen que para formas distintas $\phi_1, \phi_2$, las representaciones automorfas asociadas (específicamente $\text{Ad}(\phi)$ y $A_4(\phi)$) son distintas.
  • Aprovechando resultados recientes de Thorner y Zhao [TZ26] sobre la ausencia de ceros de Landau-Siegel para funciones $L$ de Rankin-Selberg de la forma $L(s, \text{Ad}(\phi_1) \times \text{Ad}(\phi_2))$ y $L(s, \text{Ad}(\phi_1) \times A_4(\phi_2))$, los autores prueban que las sumas de correlación cruzada de los coeficientes $A_\phi(p)$ y $A^{[4]}_\phi(p)$ son $o(\pi(X))$.
  • Construyen un polinomio no negativo $U(p)$ en términos de estos coeficientes. Al expandir $U(p)$ y aplicar el Teorema de los Números Primos para funciones $L$ automorfas, acotan la densidad de primos donde la conjetura de Ramanujan falla para todas las formas del conjunto.

Contribuciones y Resultados Clave

1. Cotas Superiores para los Primos de Ramanujan Simultáneos Mínimos:

   • Teorema 1: Para dos formas cuspales primitivas de Hecke-Maass distintas $\phi_1, \phi_2$, existe un primo $p \in RP(\phi_1) \cap RP(\phi_2)$ tal que:
     $$p \ll [N_1 N_2 (1+|t_{\phi_1}|)(1+|t_{\phi_2}|)]^{0.447374}$$
   • Teorema 2: Para tres formas distintas $\phi_1, \phi_2, \phi_3$, existe un primo $p \in \bigcap_{i=1}^3 RP(\phi_i)$ tal que:
     $$p \ll [N_1 N_2 N_3 \prod_{i=1}^3 (1+|t_{\phi_i}|)]^{0.778798}$$
   • Los autores declaran explícitamente que su método no se extiende a cuatro o más formas debido a la imposibilidad de garantizar la positividad de las sumas de valores propios relevantes.

2. Cotas Inferiores Mejoradas para la Densidad Natural:

   • Teorema 3: Para dos formas distintas $\phi_1, \phi_2$ (asumiendo que sus conjuntos de primos de Ramanujan no son idénticos salvo un conjunto finito), la densidad natural inferior de la unión satisface:
     $$\underline{d}(RP(\phi_1) \cup RP(\phi_2)) \ge \frac{43}{44}$$
     Esto mejora la cota trivial de $34/35$ derivada de las densidades individuales.
   • Teorema 4: Para una familia finita de $m$ formas distintas $\{\phi_i\}_{i=1}^m$, la densidad natural inferior de la unión está acotada por:
     $$\underline{d}\left(\bigcup_{j=1}^m RP(\phi_j)\right) \ge 1 - \frac{1}{26 + 9m}$$
   • Corolario 1: Para una familia infinita de formas distintas, la densidad natural de la unión es exactamente 1. Esto implica que para casi todos los primos (en el sentido de la densidad natural), la conjetura de Ramanujan se cumple para al menos una forma en la familia.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma avanzar en la comprensión de la distribución de primos que satisfacen la conjetura de Ramanujan en un contexto de múltiples formas. Al pasar del análisis de una sola forma a análisis simultáneos y de uniones, los autores demuestran que los primos "malos" (donde la conjetura falla) se vuelven cada vez más escasos al considerar múltiples formas.

El significado radica en:

• Proporcionar cotas cuantitativas explícitas para la primera ocurrencia de primos de Ramanujan simultáneos para pares y ternas de formas.
• Establecer que la unión de los conjuntos de primos de Ramanujan para formas distintas cubre una proporción significativamente mayor de primos que los conjuntos individuales, acercándose a una densidad 1 a medida que aumenta el tamaño de la familia.
• Utilizar la no anulación de funciones $L$ específicas de Rankin-Selberg (mediante [TZ26]) para refinar las estimaciones de densidad, una técnica que los autores generalizan de dos formas a familias finitas arbitrarias.

Los autores mantienen modestia respecto a las limitaciones de su método actual, señalando que la extensión a cuatro o más formas para la cota del primo mínimo está actualmente obstaculizada por el fallo del argumento de positividad para las sumas de valores propios relevantes. De manera similar, señalan que mejorar aún más la cota de densidad para familias finitas (específicamente el coeficiente $26+9m$) requeriría establecer regiones libres de ceros para $L(s, A_4(\phi_1) \times A_4(\phi_2))$, lo cual está actualmente fuera de alcance.