On Ramanujan Primes for Hecke-Maass Cusp Forms

Résumé technique : Sur les nombres premiers de Ramanujan pour les formes de cusp de Hecke-Maass

Énoncé du problème
La conjecture de Ramanujan pour une forme de cusp primitive de Hecke-Maass $\phi$ affirme que pour tout nombre premier $p$ ne divisant pas le niveau $N$, la $p$-ième valeur propre de Hecke $\lambda_\phi(p)$ satisfait la borne stricte $|\lambda_\phi(p)| \le 2$. Bien que cela reste un problème ouvert en général (la meilleure borne connue étant $|\lambda_\phi(p)| \le p^{7/64} + p^{-7/64}$ due à Kim et Sarnak), Luo et Zhou [LZ19] ont précédemment établi que l'ensemble des nombres premiers $RP(\phi) = \{p \nmid N : |\lambda_\phi(p)| \le 2\}$ possède une densité naturelle inférieure d'au moins $34/35$. De plus, ils ont démontré l'existence d'un plus petit nombre premier dans $RP(\phi)$ borné par une puissance du conducteur analytique.

Ce papier étend ces investigations au contexte de plusieurs formes de cusp primitives de Hecke-Maass distinctes. Les auteurs abordent deux questions principales :

1. Occurrence simultanée : Quelle est la borne supérieure pour le plus petit nombre premier $p$ auquel la conjecture de Ramanujan vaut simultanément pour deux ou trois formes distinctes ?
2. Densité de l'union : Quelle est la densité naturelle inférieure de l'ensemble des nombres premiers auxquels la conjecture de Ramanujan vaut pour au moins une forme dans une famille donnée (finie ou infinie) de formes distinctes ?

Méthodologie
Le papier emploie des techniques de théorie analytique des nombres centrées sur les propriétés des fonctions $L$ associées aux formes de cusp.

• Pour les bornes des plus petits nombres premiers (Théorèmes 1 et 2) :
  Les auteurs utilisent la méthode du « crible » combinée aux propriétés analytiques des fonctions $L$ adjointes carrées, $L(s, \text{Ad}(\phi))$.

  • Ils définissent une somme $S(x)$ impliquant les coefficients de Dirichlet du produit des fonctions $L$ adjointes.
  • Une observation cruciale est que si la conjecture de Ramanujan échoue en $p$ (c'est-à-dire $|\lambda_\phi(p)| > 2$), alors la valeur propre de Hecke tordue $\lambda_\phi(p^2)\chi_\phi(p)$ doit être grande (spécifiquement $> 3$).
  • En construisant une fonction multiplicative spécifique $h(n)$ et en utilisant les bornes de convexité pour $L(s, \text{Ad}(\phi))$, les auteurs déduisent une borne supérieure pour $S(x)$ via l'intégration de contour et une borne inférieure via la positivité des poids du crible.
  • La preuve repose sur la non-annulation de combinaisons linéaires spécifiques de valeurs propres. Pour deux formes, la somme de leurs valeurs propres tordues est démontrée positive si la conjecture échoue pour les deux ; pour trois formes, une combinaison linéaire similaire mais distincte est utilisée. Les auteurs notent que cet argument spécifique échoue pour quatre formes ou plus car la positivité de la somme ne peut être garantie.

• Pour les bornes de densité (Théorèmes 3 et 4) :
  L'approche se déplace vers l'analyse de la distribution des nombres premiers en utilisant les fonctions $L$ de Rankin-Selberg et les régions sans zéro.

  • Les auteurs introduisent la puissance symétrique quatrième tordue $A_4(\phi) = \text{Sym}^4(\phi) \otimes \chi_\phi^2$ et la puissance symétrique troisième $\text{Sym}^3(\phi)$.
  • Ils établissent que pour des formes distinctes $\phi_1, \phi_2$, les représentations automorphes associées (spécifiquement $\text{Ad}(\phi)$ et $A_4(\phi)$) sont distinctes.
  • S'appuyant sur des résultats récents de Thorner et Zhao [TZ26] concernant l'absence de zéros de Landau-Siegel pour les fonctions $L$ de Rankin-Selberg de la forme $L(s, \text{Ad}(\phi_1) \times \text{Ad}(\phi_2))$ et $L(s, \text{Ad}(\phi_1) \times A_4(\phi_2))$, les auteurs prouvent que les sommes de corrélation croisée des coefficients $A_\phi(p)$ et $A^{[4]}_\phi(p)$ sont $o(\pi(X))$.
  • Ils construisent un polynôme non négatif $U(p)$ en termes de ces coefficients. En développant $U(p)$ et en appliquant le théorème des nombres premiers pour les fonctions $L$ automorphes, ils bornent la densité des nombres premiers où la conjecture de Ramanujan échoue pour toutes les formes de l'ensemble.

Contributions et résultats clés

1. Bornes supérieures pour les plus petits nombres premiers de Ramanujan simultanés :

   • Théorème 1 : Pour deux formes de cusp primitives de Hecke-Maass distinctes $\phi_1, \phi_2$, il existe un nombre premier $p \in RP(\phi_1) \cap RP(\phi_2)$ tel que :
     $$p \ll [N_1 N_2 (1+|t_{\phi_1}|)(1+|t_{\phi_2}|)]^{0.447374}$$
   • Théorème 2 : Pour trois formes distinctes $\phi_1, \phi_2, \phi_3$, il existe un nombre premier $p \in \bigcap_{i=1}^3 RP(\phi_i)$ tel que :
     $$p \ll [N_1 N_2 N_3 \prod_{i=1}^3 (1+|t_{\phi_i}|)]^{0.778798}$$
   • Les auteurs déclarent explicitement que leur méthode ne s'étend pas à quatre formes ou plus en raison de l'impossibilité de garantir la positivité des sommes de valeurs propres pertinentes.

2. Bornes inférieures améliorées pour la densité naturelle :

   • Théorème 3 : Pour deux formes distinctes $\phi_1, \phi_2$ (en supposant que leurs ensembles de nombres premiers de Ramanujan ne sont pas identiques à un ensemble fini près), la densité naturelle inférieure de l'union satisfait :
     $$\underline{d}(RP(\phi_1) \cup RP(\phi_2)) \ge \frac{43}{44}$$
     Cela améliore la borne triviale de $34/35$ dérivée des densités individuelles.
   • Théorème 4 : Pour une famille finie de $m$ formes distinctes $\{\phi_i\}_{i=1}^m$, la densité naturelle inférieure de l'union est bornée par :
     $$\underline{d}\left(\bigcup_{j=1}^m RP(\phi_j)\right) \ge 1 - \frac{1}{26 + 9m}$$
   • Corollaire 1 : Pour une famille infinie de formes distinctes, la densité naturelle de l'union est exactement 1. Cela implique que pour presque tous les nombres premiers (au sens de la densité naturelle), la conjecture de Ramanujan vaut pour au moins une forme de la famille.

Portée et affirmations
Le papier prétend faire progresser la compréhension de la distribution des nombres premiers satisfaisant la conjecture de Ramanujan dans un contexte multi-formes. En passant d'une analyse mono-forme à des analyses simultanées et d'union, les auteurs démontrent que les « mauvais » nombres premiers (où la conjecture échoue) deviennent de plus en plus rares lorsqu'on considère plusieurs formes.

La portée réside dans :

• La fourniture de bornes quantitatives explicites pour la première occurrence de nombres premiers de Ramanujan simultanés pour des paires et des triplets de formes.
• L'établissement que l'union des ensembles de nombres premiers de Ramanujan pour des formes distinctes couvre une proportion significativement plus grande des nombres premiers que les ensembles individuels, s'approchant d'une densité de 1 à mesure que la taille de la famille augmente.
• L'utilisation de la non-annulation de fonctions $L$ de Rankin-Selberg spécifiques (via [TZ26]) pour affiner les estimations de densité, une technique que les auteurs généralisent de deux formes à des familles finies arbitraires.

Les auteurs restent modestes concernant les limites de leur méthode actuelle, notant que l'extension à quatre formes ou plus pour la borne du plus petit nombre premier est actuellement entravée par l'échec de l'argument de positivité pour les sommes de valeurs propres pertinentes. De même, ils notent que l'amélioration supplémentaire de la borne de densité pour les familles finies (spécifiquement le coefficient $26+9m$) nécessiterait l'établissement de régions sans zéro pour $L(s, A_4(\phi_1) \times A_4(\phi_2))$, ce qui est actuellement hors de portée.