On Ramanujan Primes for Hecke-Maass Cusp Forms

技术摘要：关于 Hecke-Maass 尖点形式的 Ramanujan 素数

问题陈述
对于原始 Hecke-Maass 尖点形式 $\phi$ 的 Ramanujan 猜想断言，对于任何不整除级数 $N$ 的素数 $p$，第 $p$ 个 Hecke 特征值 $\lambda_\phi(p)$ 满足严格界限 $|\lambda_\phi(p)| \le 2$。尽管这在一般情况下仍是一个未解决问题（目前已知最好的界限是由 Kim 和 Sarnak 给出的 $|\lambda_\phi(p)| \le p^{7/64} + p^{-7/64}$），Luo 和 Zhou [LZ19] 此前已证明，素数集合 $RP(\phi) = \{p \nmid N : |\lambda_\phi(p)| \le 2\}$ 的下自然密度至少为 $34/35$。此外，他们证明了 $RP(\phi)$ 中存在一个最小素数，其界限由解析导子的幂次控制。

本文将这些研究扩展到多个不同原始 Hecke-Maass 尖点形式的背景下。作者解决了两个主要问题：

1. 同时发生性：Ramanujan 猜想同时对于两个或三个不同形式成立的 least prime $p$ 的上界是多少？
2. 并集密度：在给定有限（或无限）的不同形式族中，Ramanujan 猜想对至少一个形式成立的素数集合的下自然密度是多少？

方法论
本文采用了以与尖点形式相关的 $L$-函数性质为中心的解析数论技术。

• 关于最小素数界限（定理 1 和 2）：
  作者利用了“筛法”结合伴随平方 $L$-函数 $L(s, \text{Ad}(\phi))$ 的解析性质的方法。

  • 他们定义了一个涉及伴随 $L$-函数乘积的 Dirichlet 系数的求和 $S(x)$。
  • 一个关键的观察是，如果 Ramanujan 猜想在 $p$ 处失效（即 $|\lambda_\phi(p)| > 2$），则扭曲 Hecke 特征值 $\lambda_\phi(p^2)\chi_\phi(p)$ 必须很大（具体而言 $> 3$）。
  • 通过构造一个特定的乘性函数 $h(n)$ 并利用 $L(s, \text{Ad}(\phi))$ 的凸性界限，作者通过围道积分导出了 $S(x)$ 的上界，并通过筛法权重的正性导出了下界。
  • 证明依赖于特定特征值线性组合的非零性。对于两个形式，如果猜想对两者都失效，则证明其扭曲特征值之和为正；对于三个形式，则使用类似但不同的线性组合。作者指出，这一特定论证对于四个或更多形式失效，因为无法保证和的正性。

• 关于密度界限（定理 3 和 4）：
  该方法转向利用 Rankin-Selberg $L$-函数和无零点区域来分析素数的分布。

  • 作者引入了扭曲对称四次幂 $A_4(\phi) = \text{Sym}^4(\phi) \otimes \chi_\phi^2$ 和对称三次幂 $\text{Sym}^3(\phi)$。
  • 他们证明了对于不同的形式 $\phi_1, \phi_2$，相关的自守表示（具体为 $\text{Ad}(\phi)$ 和 $A_4(\phi)$）是互不相同的。
  • 利用 Thorner 和 Zhao [TZ26] 关于形式为 $L(s, \text{Ad}(\phi_1) \times \text{Ad}(\phi_2))$ 和 $L(s, \text{Ad}(\phi_1) \times A_4(\phi_2))$ 的 Rankin-Selberg $L$-函数不存在 Landau-Siegel 零点的最新结果，作者证明了系数 $A_\phi(p)$ 和 $A^{[4]}_\phi(p)$ 的互相关和为 $o(\pi(X))$。
  • 他们根据这些系数构造了一个非负多项式 $U(p)$。通过展开 $U(p)$ 并应用自守 $L$-函数的素数定理，他们界定了集合中所有形式 Ramanujan 猜想均失效的素数的密度。

主要贡献与结果

1. 最小同时 Ramanujan 素数的上界：

   • 定理 1：对于两个不同的原始 Hecke-Maass 尖点形式 $\phi_1, \phi_2$，存在一个素数 $p \in RP(\phi_1) \cap RP(\phi_2)$ 使得：
     $$p \ll [N_1 N_2 (1+|t_{\phi_1}|)(1+|t_{\phi_2}|)]^{0.447374}$$
   • 定理 2：对于三个不同的形式 $\phi_1, \phi_2, \phi_3$，存在一个素数 $p \in \bigcap_{i=1}^3 RP(\phi_i)$ 使得：
     $$p \ll [N_1 N_2 N_3 \prod_{i=1}^3 (1+|t_{\phi_i}|)]^{0.778798}$$
   • 作者明确指出，由于无法保证相关特征值之和的正性，他们的方法无法扩展到四个或更多形式。

2. 自然密度的改进下界：

   • 定理 3：对于两个不同的形式 $\phi_1, \phi_2$（假设它们的 Ramanujan 素数集合在有限集意义下不相同），并集的下自然密度满足：
     $$\underline{d}(RP(\phi_1) \cup RP(\phi_2)) \ge \frac{43}{44}$$
     这改进了从单个密度推导出的 $34/35$ 的平凡界限。
   • 定理 4：对于 $m$ 个不同形式 $\{\phi_i\}_{i=1}^m$ 的有限族，并集的下自然密度被界定为：
     $$\underline{d}\left(\bigcup_{j=1}^m RP(\phi_j)\right) \ge 1 - \frac{1}{26 + 9m}$$
   • 推论 1：对于无限族的不同形式，并集的自然密度恰好为 1。这意味着对于几乎所有素数（在自然密度的意义上），Ramanujan 猜想对该族中的至少一个形式成立。

意义与主张
本文声称推进了对多形式背景下满足 Ramanujan 猜想的素数分布的理解。通过从单形式分析转向同时分析和并集分析，作者证明了当考虑多个形式时，“坏”素数（即猜想失效的素数）变得越来越稀疏。

其意义在于：

• 为成对和三元组形式首次出现同时 Ramanujan 素数提供了明确的定量界限。
• 确立了不同形式的 Ramanujan 素数集合的并集覆盖了比单个集合大得多的素数比例，并且随着族规模的增加，其密度趋近于 1。
• 利用特定 Rankin-Selberg $L$-函数的非零性（通过 [TZ26]）来细化密度估计，作者将这一技术从两个形式推广到任意有限族。

作者对其当前方法的局限性保持谦逊，指出将最小素数界限扩展到四个或更多形式目前受阻于相关特征值之和的正性论证失效。同样，他们指出，要进一步改进有限族的密度界限（特别是系数 $26+9m$），需要建立 $L(s, A_4(\phi_1) \times A_4(\phi_2))$ 的无零点区域，而这目前超出了能力范围。