On Ramanujan Primes for Hecke-Maass Cusp Forms

技術的概要：ヘッケ・マアス尖点形式におけるラマヌジャン素数について

問題提起
原始ヘッケ・マアス尖点形式 $\phi$ に対するラマヌジャン予想は、レベル $N$ を割り切らない任意の素数 $p$ に対して、$p$ 番目のヘッケ固有値 $\lambda_\phi(p)$ が鋭い上限 $|\lambda_\phi(p)| \le 2$ を満たすと主張する。これは一般的には未解決問題であり（既知の最良の上限は Kim と Sarnak による $|\lambda_\phi(p)| \le p^{7/64} + p^{-7/64}$ であるが）、Luo と Zhou [LZ19] は以前、素数の集合 $RP(\phi) = \{p \nmid N : |\lambda_\phi(p)| \le 2\}$ が少なくとも $34/35$ の下限自然密度を持つことを確立した。さらに、彼らは $RP(\phi)$ に含まれる最小の素数が解析的導手のあるべき乗によって有界であることを示した。

本論文は、これらの調査を複数の異なる原始ヘッケ・マアス尖点形式の文脈に拡張するものである。著者らは以下の 2 つの主要な問いに取り組む：

1. 同時発生： ラマヌジャン予想が 2 つまたは 3 つの異なる形式に対して同時に成り立つような最小の素数 $p$ の上限は何か？
2. 和集合の密度： 与えられた有限（または無限）の異なる形式の族において、ラマヌジャン予想が少なくとも 1 つの形式に対して成り立つような素数の集合の下限自然密度は何か？

手法
本論文は、尖点形式に関連する $L$-関数の性質に焦点を当てた解析的整数論の手法を採用している。

• 最小素数の上限について（定理 1 と 2）：
  著者らは、随伴平方 $L$-関数 $L(s, \text{Ad}(\phi))$ の解析的性質と組み合わせた「篩法」の手法を利用する。

  • 彼らは随伴 $L$-関数の積のディリクレ係数を含む和 $S(x)$ を定義する。
  • 重要な観察として、ラマヌジャン予想が $p$ で破れる場合（すなわち $|\lambda_\phi(p)| > 2$）、ねじれたヘッケ固有値 $\lambda_\phi(p^2)\chi_\phi(p)$ は大きくなる（具体的には $> 3$）という事実がある。
  • 特定の乗法的関数 $h(n)$ を構成し、$L(s, \text{Ad}(\phi))$ に対する凸性上限を利用することで、著者らは輪郭積分を通じて $S(x)$ の上限を導き出し、篩の重みの正性を通じて下限を導き出す。
  • 証明は、固有値の特定の線形結合の非消滅に依存している。2 つの形式の場合、予想が両方に対して破れるならばそれらのねじれた固有値の和は正であることが示される。3 つの形式の場合、同様だが異なる線形結合が用いられる。著者らは、この特定の議論は 4 つ以上の形式には適用できないと指摘しており、それは和の正性が保証されないためである。

• 密度の上限について（定理 3 と 4）：
  手法は、Rankin-Selberg $L$-関数と零点不在領域を用いた素数の分布の分析へと移行する。

  • 著者らは、ねじれた対称 4 乗 $A_4(\phi) = \text{Sym}^4(\phi) \otimes \chi_\phi^2$ と対称 3 乗 $\text{Sym}^3(\phi)$ を導入する。
  • 異なる形式 $\phi_1, \phi_2$ に対して、関連する自己同型表現（具体的には $\text{Ad}(\phi)$ と $A_4(\phi)$）が異なることを確立する。
  • Thorner と Zhao [TZ26] による $L(s, \text{Ad}(\phi_1) \times \text{Ad}(\phi_2))$ および $L(s, \text{Ad}(\phi_1) \times A_4(\phi_2))$ 型の Rankin-Selberg $L$-関数に対する Landau-Siegel 零点の不在に関する最近の結果を活用し、著者らは係数 $A_\phi(p)$ と $A^{[4]}_\phi(p)$ の相互相関和が $o(\pi(X))$ であることを証明する。
  • 彼らはこれらの係数を用いて非負多項式 $U(p)$ を構成する。$U(p)$ を展開し、自己同型 $L$-関数に対する素数定理を適用することで、集合内のすべての形式に対してラマヌジャン予想が破れるような素数の密度を評価する。

主要な貢献と結果

1. 最小同時ラマヌジャン素数の上限：

   • 定理 1： 2 つの異なる原始ヘッケ・マアス尖点形式 $\phi_1, \phi_2$ に対して、$p \in RP(\phi_1) \cap RP(\phi_2)$ なる素数 $p$ が存在し、
     $$p \ll [N_1 N_2 (1+|t_{\phi_1}|)(1+|t_{\phi_2}|)]^{0.447374}$$
     を満たす。
   • 定理 2： 3 つの異なる形式 $\phi_1, \phi_2, \phi_3$ に対して、$p \in \bigcap_{i=1}^3 RP(\phi_i)$ なる素数 $p$ が存在し、
     $$p \ll [N_1 N_2 N_3 \prod_{i=1}^3 (1+|t_{\phi_i}|)]^{0.778798}$$
     を満たす。
   • 著者らは、関連する固有値和の正性を保証できないため、この手法は 4 つ以上の形式には拡張できないことを明示的に述べている。

2. 自然密度の改善された下限：

   • 定理 3： 2 つの異なる形式 $\phi_1, \phi_2$ に対して（ラマヌジャン素数の集合が有限集合を除いて同一ではないと仮定する）、和集合の下限自然密度は以下を満たす：
     $$\underline{d}(RP(\phi_1) \cup RP(\phi_2)) \ge \frac{43}{44}$$
     これは個々の密度から導かれる $34/35$ という自明な上限を改善するものである。
   • 定理 4： $m$ 個の異なる形式 $\{\phi_i\}_{i=1}^m$ からなる有限族に対して、和集合の下限自然密度は以下によって有界である：
     $$\underline{d}\left(\bigcup_{j=1}^m RP(\phi_j)\right) \ge 1 - \frac{1}{26 + 9m}$$
   • 系 1： 異なる形式の無限族に対して、和集合の自然密度は正確に 1 である。これは、自然密度の観点からほとんどすべての素数に対して、ラマヌジャン予想が族内の少なくとも 1 つの形式に対して成り立つことを意味する。

意義と主張
本論文は、多形式の文脈におけるラマヌジャン予想を満たす素数の分布の理解を深めることを主張している。単一形式の分析から、同時分析および和集合の分析へと移行することで、著者らは「悪い」素数（予想が破れるもの）が複数の形式を考慮するとますます希薄になることを示している。

その意義は以下の点にある：

• 形式の対および三重組に対する同時ラマヌジャン素数の初回出現の明示的な量的上限を提供すること。
• 異なる形式に対するラマヌジャン素数集合の和集合が、個々の集合よりもはるかに大きな割合の素数をカバーすることを確立し、族のサイズが増加するにつれて密度が 1 に近づくことを示すこと。
• [TZ26] を通じた特定の Rankin-Selberg $L$-関数の非消滅を利用し、密度推定を精緻化すること。この手法は著者らによって 2 つの形式から任意の有限族へと一般化されている。

著者らは、現在の手法の限界については謙虚であり、最小素数の上限に関する 4 つ以上の形式への拡張は、関連する固有値和の正性に関する議論の失敗によって現在阻まれていると指摘している。同様に、有限族に対する密度上限（特に係数 $26+9m$）をさらに改善するには、$L(s, A_4(\phi_1) \times A_4(\phi_2))$ に対する零点不在領域を確立する必要があるが、これは現在達成不可能であると述べている。