Bounded-box reductions in the Subbarao-Warren problem for unitary perfect numbers

기술적 요약: 단위완전수에 대한 Subbarao–Warren 문제에서의 유계 상자 축소

문제 진술
본 논문은 단위완전수 (UPN) 와 관련된 Subbarao–Warren 문제를 다룬다. 양의 정수 $n$이 $\sigma^*(n) = 2n$을 만족할 때 UPN 이라고 정의하며, 여기서 $\sigma^*$는 $n$의 단위약수들을 합산한다. 현재 알려진 예시는 6, 60, 90, 87360, 146361946186458562560000 총 다섯 개뿐이다. 엄격한 추측은 이 다섯 개가 유일한 UPN 일 것이라고 주장한다.

UPN $n = 2^a \prod p_i^{e_i}$ ($p_i$는 홀수) 에 대한 정의 방정식은 '완전 균형 (full balance)'이다:
$$(2^a + 1) \prod (p_i^{e_i} + 1) = 2^{a+1} \prod p_i^{e_i}$$
여기서 $2^a + 1$은 의존성 연쇄를 시작하는 '시드 인자 (seed factor)'로 작용한다. UPN 의 모든 홀수 소인수는 '3-히그스' 소수 (소수 $p$에 대해 $p-1$의 모든 소인수도 3-히그스이며, $p-1$의 소인수분해에서 지수가 3 으로 제한된 소수) 여야 한다. 본 논문은 알려진 예시에 포함되지 않지만 초기 구조적 제약을 만족하는 '가짜 커널 (impostor kernels)'—홀수 의존성 그래프의 소스 구성 요소—을 분석함으로써 새로운 UPN 이 존재할 수 있는지 조사한다.

방법론
저자는 '유계 상자 (bounded-box)' 접근법과 3 단계 필터 인증 시스템을 중심으로 구조화된 엄밀한 계산적 열거와 해석적 정수론의 조합을 활용한다.

1. 유계 열거 상자 ($B$): 검색은 특정 영역으로 제한된다: 소수 $p \le 2000$, 지수 $e \le 6$, $p^e \le 10^9$, 그리고 크기가 $\le 6$인 강연결 성분 (SCCs). 이 상자 내에서 저자는 소스 호환 SCC 들을 열거한다.
2. 3 단계 필터 인증: 각 후보 커널과 시드 지수 $a$에 대해, UPN 가능성을 배제하기 위해 세 가지 엄밀한 필터를 적용한다:
   • 필터 Z (Zsigmondy/히그스): Zsigmondy 정리를 사용하여 $p^e+1$의 본질적 소인수가 3-히그스 제약을 위반하는 지수 장애를 탐지한다.
   • 필터 N (비 3-히그스 증인): $a/m$이 홀수가 되도록 $a$의 약수 $m$을 확인한다. $2^m+1$에 비 3-히그스 소인수가 포함되어 있으면 시드 $2^a+1$은 이 인자를 물려받아 후보를 무효화한다. 이 필터는 FactorDB 의 부분 인수분해와 재귀적 Pratt 트리 검증을 활용한다.
   • 필터 O (2-진수 예산 초과): 홀수 구성 요소가 요구하는 누적 2-진수 평가 $v_2$를 계산한다. $v_2(p^e+1)$의 합이 사용 가능한 예산 $a+1$을 초과하면 후보는 제외된다.
3. 집합 $H_{even}$ 분석: 본 논문은 $2^m+1$의 모든 소인수가 3-히그스인 짝수 정수 $m$의 집합을 $H_{even}$으로 정의한다. 비제곱 자유 (nonsquarefree) 홀수 부분을 가진 새로운 UPN 의 존재는 이 집합의 유한성과 연결된다. 저자는 문제를 '소수 경우 ($m=2p$)'로 축소하고 Aurifeuillean 인수분해와 심층 Pratt 트리 강하를 사용하여 이러한 후보들의 구조적 속성을 분석한다.

주요 기여 및 결과

• 가짜 커널의 배제: 유계 상자 $B$ 내에서 저자는 알려진 두 커널 (32 와 54) 외에 초기 저렴한 필터를 통과하는 다섯 개의 '가짜 커널'을 식별한다. 3 단계 필터 인증을 사용하여, 모든 시드 지수 $1 \le a \le 10,000$에 대해 이러한 가짜 커널을 정제하는 홀수 구성 요소 구조를 가진 UPN 은 존재하지 않음을 증명한다.
  • 통계: 이 범위의 2,119 개 후보 중 495 개는 필터 Z 로, 1,614 개는 필터 N 으로, 10 개는 필터 O 로 배제되었다.
• $H_{even}$에 대한 엄밀한 경계: 본 논문은 $H_{even}$에 대한 검증된 경계를 제공한다:
  • $|H_{even} \cap [2, 40000]| \le 201$ (191 개의 미결정 후보 포함).
  • $|H_{even} \cap [2, 50000]| \le 272$ (262 개의 미결정 후보 포함).
  • 이러한 경계는 큰 증인 소수 (최대 3053 자리) 에 대한 APR-CL 소수성 검증 전사본과 부분 인수분해의 보수적 처리에 기반한 엄밀한 것이다.
• 구조적 축소:
  • 정리 7: $H_{even}$이 유한할 필요충분조건은 소수 부분집합 $H_{even}^{prime} = \{2p \in H_{even} : p \text{는 소수}\}$이 유한하다는 것이다. 또한 $|H_{even}| \le 4^{|H_{even}^{prime}|}$이다.
  • 정리 21: $H_{even}$에 대한 무조건적인 '전력 절약형 얇음 (power-saving thinness)' 경계를 수립한다 (즉, 개수는 $O(X^{1-\eta})$로 증가). 그러나 이는 유한성을 증명하지는 않는다.
• 해석적 장애물의 식별: 본 논문은 유한성을 증명하는 데 있어 정확한 장벽을 격리한다. Ford 의 정리는 3-히그스 소수에 대한 전역 밀도 경계를 제공하지만, 순환 값 $\Phi_{4p}(2)$의 본질적 약수 규모에서는 불충분하다. 남은 과제는 약수 수준의 문제이다: 큰 $p$에 대해 $2^{2p}+1$의 본질적 소인수들이 모두 3-히그스일 수 없음을 증명하는 것이다.

의의 및 주장
본 논문은 엄격한 Subbarao–Warren 추측 (UPN 이 다섯 개뿐이라는 주장) 을 증명하지는 않는다고 명시적으로 밝힌다. 대신 '유계 상자 배제'와 '검증된 유한 프런터'를 달성한다.

• 단일 해석적 질문으로의 축소: (유계 상자 내) 새로운 UPN 을 찾는 문제는 $H_{even}$의 유한성으로 축소되며, 이는 다시 $\Phi_{4p}(2)$의 소인수 행동에 달려 있다.
• 미래 작업을 위한 정확한 목표: 저자는 '부족한 정리'를 $\Phi_{4p}(2)$의 소인수에 대한 약수 수준의 등분포 또는 로그 질량 경계로 식별한다. 구체적으로, 본 논문은 문제를 해결하는 데 필요한 조건으로 추측 23(하이브리드 반군 - friable 이동 소수 추측)과 추측 29(약수 mod-16 등분포)를 공식화한다.
• 재현성: 본 논문은 모든 계산 결과가 재현 가능함을 강조한다. 가짜 커널 배제와 $H_{even}$ 경계를 검증하기 위한 인수 캐시, APR-CL 검증 전사본, 그리고 Python 스크립트 (impostor_certificate.py, verify_Heven_rigorous.py) 를 제공한다.

요약하자면, 본 논문은 정의된 검색 공간 내에서 시드 지수 10,000 까지 새로운 UPN 에 대한 모든 잠재적 '가짜' 소스를 엄밀하게 배제하고, 남은 미해결 문제를 순환 다항식의 소인수에 관한 구체적이고 잘 정의된 해석적 추측으로 축소한다.