Bounded-box reductions in the Subbarao-Warren problem for unitary perfect numbers

技术摘要：Subbarao–Warren 问题中单位完全数的有界盒归约

问题陈述
本文探讨了关于单位完全数（UPNs）的 Subbarao–Warren 问题。若正整数 $n$ 满足 $\sigma^*(n) = 2n$，其中 $\sigma^*$ 表示 $n$ 的单位约数之和，则 $n$ 为单位完全数。目前仅已知五个例子：6、60、90、87360 和 146361946186458562560000。严格的猜想认为，这五个数是仅有的 UPN。

UPN $n = 2^a \prod p_i^{e_i}$（其中 $p_i$ 为奇数）的定义方程为“完全平衡”：
$$(2^a + 1) \prod (p_i^{e_i} + 1) = 2^{a+1} \prod p_i^{e_i}$$
在此，$2^a + 1$ 充当引发依赖级联的“种子因子”。UPN 的每一个奇素数因子必须是"3-Higgs"素数（即素数 $p$ 满足 $p-1$ 的每一个素因子也是 3-Higgs 素数，且 $p-1$ 素因数分解中的指数不超过 3）。本文通过分析“冒名顶替核”（odd dependency graph 中不属于已知例子但满足初始结构约束的源组件）来研究是否存在新的 UPN。

方法论
作者结合了严格的计算枚举与分析数论，围绕“有界盒”方法和三过滤器认证系统构建研究框架。

1. 有界枚举盒（$B$）： 搜索被限制在特定域内：素数 $p \le 2000$，指数 $e \le 6$，$p^e \le 10^9$，以及大小 $\le 6$ 的强连通分量（SCCs）。在此盒内，作者枚举了与源兼容的 SCC。
2. 三过滤器认证： 对于每个候选核和种子指数 $a$，本文应用三个严格过滤器以排除 UPN 存在的可能性：
   • 过滤器 Z（Zsigmondy/Higgs）： 利用 Zsigmondy 定理检测指数障碍，即 $p^e+1$ 的本原素因子违反 3-Higgs 约束的情况。
   • 过滤器 N（非 3-Higgs 见证）： 检查 $a$ 的约数 $m$（其中 $a/m$ 为奇数）。如果 $2^m+1$ 包含非 3-Higgs 素因子，则种子 $2^a+1$ 继承该因子，从而使候选无效。此过滤器利用 FactorDB 的部分分解和递归 Pratt 树验证。
   • 过滤器 O（2-进预算溢出）： 计算奇数分量所需的累积 2-进赋值 $v_2$。如果 $v_2(p^e+1)$ 之和超过可用预算 $a+1$，则排除该候选。
3. 集合 $H_{even}$ 的分析： 本文定义 $H_{even}$ 为满足 $2^m+1$ 的每个素因子均为 3-Higgs 的偶整数 $m$ 的集合。具有非无平方奇数部分的新 UPN 的存在性与该集合的有限性相关联。作者将问题归约为“素数情形”（$m=2p$），并利用 Aurifeuillean 分解和深入的 Pratt 树下降分析这些候选的结构性质。

主要贡献与结果

• 冒名顶替核的消除： 在有界盒 $B$ 内，作者识别出五个“冒名顶替核”（除已知的两个核 32 和 54 外），它们通过了初始的廉价过滤器。利用三过滤器认证，本文证明对于所有种子指数 $1 \le a \le 10,000$，不存在具有细化这些冒名顶替核的奇数分量结构的 UPN。
  • 统计数据： 在此范围内 2,119 个候选中，495 个被过滤器 Z 排除，1,614 个被过滤器 N 排除，10 个被过滤器 O 排除。
• $H_{even}$ 的严格界限： 本文提供了 $H_{even}$ 集合的已验证界限：
  • $|H_{even} \cap [2, 40000]| \le 201$（其中 191 个候选未决）。
  • $|H_{even} \cap [2, 50000]| \le 272$（其中 262 个候选未决）。
  • 这些界限是严格的，依赖于大见证素数（高达 3053 位）的 APR-CL 素性验证记录以及对部分分解的保守处理。
• 结构归约：
  • 定理 7： 证明 $H_{even}$ 有限当且仅当素数情形子集 $H_{even}^{prime} = \{2p \in H_{even} : p \text{ 是素数}\}$ 有限。此外，$|H_{even}| \le 4^{|H_{even}^{prime}|}$。
  • 定理 21： 建立了 $H_{even}$ 的无条件“幂节省稀疏性”界限（即计数增长为 $O(X^{1-\eta})$），但这并未证明其有限性。
• 分析障碍的识别： 本文隔离了证明有限性的确切障碍。虽然 Ford 定理为 3-Higgs 素数提供了全局密度界限，但在分圆值 $\Phi_{4p}(2)$ 的本原约数尺度上，该界限是不够的。剩余的任务是一个约数级问题：证明对于大素数 $p$，$2^{2p}+1$ 的本原素因子不可能全是 3-Higgs。

意义与主张
本文明确指出，它并未证明严格的 Subbarao–Warren 猜想（即仅存在五个 UPN）。相反，它实现了“有界盒消除”和“已验证的有限前沿”。

• 归约为单一分析问题： 这项工作将（在有界盒内）寻找新 UPN 的问题归约为 $H_{even}$ 的有限性，而这又取决于 $\Phi_{4p}(2)$ 的素因子行为。
• 未来工作的精确目标： 作者将“缺失的定理”确定为 $\Phi_{4p}(2)$ 素因子的约数级等分布或对数质量界限。具体而言，本文提出了猜想 23（混合半群 - 平滑移位素数猜想）和猜想 29（约数模 16 等分布）作为解决该问题所需的必要条件。
• 可复现性： 本文强调所有计算结果均可复现。它提供了因子缓存、APR-CL 验证记录以及 Python 脚本（impostor_certificate.py、verify_Heven_rigorous.py），用于验证冒名顶替核的消除和 $H_{even}$ 的界限。

总之，本文在定义的搜索空间内，严格消除了所有高达种子指数 10,000 的新 UPN 潜在“冒名顶替”源，并将剩余的开放问题归约为一个关于分圆多项式素因子的具体且定义明确的分析猜想。