Bounded-box reductions in the Subbarao-Warren problem for unitary perfect numbers

Résumé technique : Réductions par boîte bornée dans le problème de Subbarao–Warren pour les nombres parfaits unitaires

Énoncé du problème
L'article traite du problème de Subbarao–Warren concernant les nombres parfaits unitaires (NPU). Un entier positif $n$ est un NPU si $\sigma^*(n) = 2n$, où $\sigma^*$ somme les diviseurs unitaires de $n$. Seuls cinq exemples sont actuellement connus : 6, 60, 90, 87360 et 146361946186458562560000. La conjecture stricte postule que ces cinq nombres sont les seuls NPU.

L'équation définissant un NPU $n = 2^a \prod p_i^{e_i}$ (avec $p_i$ impairs) est l'équilibre « complet » :
$$(2^a + 1) \prod (p_i^{e_i} + 1) = 2^{a+1} \prod p_i^{e_i}$$
Ici, $2^a + 1$ agit comme le « facteur germe » initiant une cascade de dépendances. Chaque diviseur premier impair d'un NPU doit être un nombre premier « 3-Higgs » (un nombre premier $p$ tel que chaque facteur premier de $p-1$ soit également 3-Higgs, avec des exposants dans la décomposition en facteurs premiers de $p-1$ bornés par 3). L'article examine si de nouveaux NPU peuvent exister en analysant les « noyaux imposteurs » — des composantes sources dans le graphe de dépendance impair qui ne font pas partie des exemples connus mais qui satisfont les contraintes structurelles initiales.

Méthodologie
L'auteur utilise une combinaison d'énumération computationnelle rigoureuse et de théorie analytique des nombres, structurée autour d'une approche par « boîte bornée » et d'un système de certification à trois filtres.

1. Boîte d'énumération bornée ($B$) : La recherche est restreinte à un domaine spécifique : nombres premiers $p \le 2000$, exposants $e \le 6$, $p^e \le 10^9$, et composantes fortement connexes (CCK) de taille $\le 6$. Dans cette boîte, l'auteur énumère les CCK compatibles avec la source.
2. Certificat à trois filtres : Pour chaque noyau candidat et exposant germe $a$, l'article applique trois filtres rigoureux pour éliminer la possibilité d'un NPU :
   • Filtre Z (Zsigmondy/Higgs) : Utilise le théorème de Zsigmondy pour détecter les obstructions d'exposant où les diviseurs premiers primitifs de $p^e+1$ violent les contraintes 3-Higgs.
   • Filtre N (Témoin non-3-Higgs) : Vérifie les diviseurs $m$ de $a$ (où $a/m$ est impair). Si $2^m+1$ contient un facteur premier non-3-Higgs, le germe $2^a+1$ hérite de ce facteur, invalidant le candidat. Ce filtre utilise des factorisations partielles provenant de FactorDB et des vérifications récursives d'arbres de Pratt.
   • Filtre O (Dépassement du budget 2-adique) : Calcule la valuation 2-adique cumulative $v_2$ requise par les composantes impaires. Si la somme de $v_2(p^e+1)$ dépasse le budget disponible $a+1$, le candidat est éliminé.
3. Analyse de l'ensemble $H_{even}$ : L'article définit $H_{even}$ comme l'ensemble des entiers pairs $m$ tels que chaque diviseur premier de $2^m+1$ soit 3-Higgs. L'existence d'un nouveau NPU avec une partie impaire non sans carré est liée à la finitude de cet ensemble. L'auteur réduit le problème au « cas premier » ($m=2p$) et analyse les propriétés structurelles de ces candidats en utilisant des factorisations d'Aurifeuille et des descentes profondes d'arbres de Pratt.

Contributions et résultats clés

• Élimination des noyaux imposteurs : Dans la boîte bornée $B$, l'auteur identifie cinq « noyaux imposteurs » (en plus des deux noyaux connus 32 et 54) qui passent les filtres initiaux peu coûteux. En utilisant le certificat à trois filtres, l'article prouve que pour tous les exposants germes $1 \le a \le 10,000$, aucun NPU n'existe avec une structure de composante impaire raffinant ces noyaux imposteurs.
  • Statistiques : Sur 2 119 candidats dans cette plage, 495 ont été éliminés par le Filtre Z, 1 614 par le Filtre N et 10 par le Filtre O.
• Bornes rigoureuses sur $H_{even}$ : L'article fournit des bornes vérifiées pour l'ensemble $H_{even}$ :
  • $|H_{even} \cap [2, 40000]| \le 201$ (avec 191 candidats indécis).
  • $|H_{even} \cap [2, 50000]| \le 272$ (avec 262 candidats indécis).
  • Ces bornes sont rigoureuses, reposant sur des transcripts de vérification de primalité APR-CL pour de grands nombres premiers témoins (jusqu'à 3053 chiffres) et sur un traitement conservateur des factorisations partielles.
• Réductions structurelles :
  • Théorème 7 : Prouve que $H_{even}$ est fini si et seulement si le sous-ensemble des cas premiers $H_{even}^{prime} = \{2p \in H_{even} : p \text{ est premier}\}$ est fini. De plus, $|H_{even}| \le 4^{|H_{even}^{prime}|}$.
  • Théorème 21 : Établit une borne de « minceur avec économie de puissance » inconditionnelle pour $H_{even}$ (c'est-à-dire que le dénombrement croît comme $O(X^{1-\eta})$), bien que cela ne prouve pas la finitude.
• Identification de l'obstacle analytique : L'article isole la barrière précise à la preuve de la finitude. Alors que le théorème de Ford fournit une borne de densité globale pour les nombres premiers 3-Higgs, il est insuffisant à l'échelle des diviseurs primitifs des valeurs cyclotomiques $\Phi_{4p}(2)$. La tâche restante est un problème au niveau des diviseurs : prouver que pour $p$ grand, les diviseurs premiers primitifs de $2^{2p}+1$ ne peuvent pas tous être 3-Higgs.

Portée et affirmations
L'article déclare explicitement qu'il ne prouve pas la conjecture stricte de Subbarao–Warren (selon laquelle seuls cinq NPU existent). Au lieu de cela, il réalise une « élimination par boîte bornée » et une « frontière finie vérifiée ».

• Réduction à une seule question analytique : Le travail réduit le problème de la découverte de nouveaux NPU (dans la boîte bornée) à la finitude de $H_{even}$, qui dépend elle-même du comportement des diviseurs premiers de $\Phi_{4p}(2)$.
• Cible précise pour les travaux futurs : L'auteur identifie le « théorème manquant » comme une borne d'équidistribution ou de masse logarithmique au niveau des diviseurs pour les facteurs premiers de $\Phi_{4p}(2)$. Plus précisément, l'article formule la Conjecture 23 (Conjecture hybride sur les semi-groupes friables et les nombres premiers décalés) et la Conjecture 29 (Équidistribution des diviseurs modulo 16) comme les conditions nécessaires pour clore le problème.
• Reproductibilité : L'article souligne que tous les résultats computationnels sont reproductibles. Il fournit un cache de facteurs, des transcripts de vérification APR-CL et des scripts Python (impostor_certificate.py, verify_Heven_rigorous.py) pour vérifier l'élimination des noyaux imposteurs et les bornes sur $H_{even}$.

En résumé, l'article élimine rigoureusement toutes les sources potentielles « imposteurs » pour de nouveaux NPU jusqu'à un exposant germe de 10 000 dans un espace de recherche défini et réduit le problème ouvert restant à une conjecture analytique spécifique et bien définie concernant les diviseurs premiers des polynômes cyclotomiques.