Bounded-box reductions in the Subbarao-Warren problem for unitary perfect numbers

Resumen Técnico: Reducciones de Caja Acotada en el Problema de Subbarao–Warren para Números Perfectos Unitarios

Enunciado del Problema
El artículo aborda el problema de Subbarao–Warren relativo a los Números Perfectos Unitarios (NPU). Un entero positivo $n$ es un NPU si $\sigma^*(n) = 2n$, donde $\sigma^*$ suma los divisores unitarios de $n$. Actualmente solo se conocen cinco ejemplos: 6, 60, 90, 87360 y 146361946186458562560000. La conjetura estricta postula que estos cinco son los únicos NPU.

La ecuación definitoria para un NPU $n = 2^a \prod p_i^{e_i}$ (con $p_i$ impares) es el "equilibrio completo":
$$(2^a + 1) \prod (p_i^{e_i} + 1) = 2^{a+1} \prod p_i^{e_i}$$
Aquí, $2^a + 1$ actúa como el "factor semilla" que inicia una cascada de dependencias. Cada divisor primo impar de un NPU debe ser un primo "3-Higgs" (un primo $p$ donde cada factor primo de $p-1$ es también 3-Higgs, con los exponentes en la factorización prima de $p-1$ acotados por 3). El artículo investiga si pueden existir nuevos NPU analizando "núcleos impostores": componentes fuente en el grafo de dependencias impares que no forman parte de los ejemplos conocidos pero que satisfacen las restricciones estructurales iniciales.

Metodología
El autor emplea una combinación de enumeración computacional rigurosa y teoría de números analítica, estructurada en torno a un enfoque de "caja acotada" y un sistema de certificación de tres filtros.

1. Caja de Enumeración Acotada ($B$): La búsqueda se restringe a un dominio específico: primos $p \le 2000$, exponentes $e \le 6$, $p^e \le 10^9$ y componentes fuertemente conexos (CFC) de tamaño $\le 6$. Dentro de esta caja, el autor enumera CFC compatibles con la fuente.
2. Certificado de Tres Filtros: Para cada núcleo candidato y exponente semilla $a$, el artículo aplica tres filtros rigurosos para eliminar la posibilidad de un NPU:
   • Filtro Z (Zsigmondy/Higgs): Utiliza el teorema de Zsigmondy para detectar obstrucciones de exponente donde los divisores primos primitivos de $p^e+1$ violan las restricciones 3-Higgs.
   • Filtro N (Testigo No-3-Higgs): Verifica divisores $m$ de $a$ (donde $a/m$ es impar). Si $2^m+1$ contiene un factor primo no 3-Higgs, la semilla $2^a+1$ hereda este factor, invalidando al candidato. Este filtro utiliza factorizaciones parciales de FactorDB y verificaciones recursivas de árboles de Pratt.
   • Filtro O (Exceso de Presupuesto 2-ádico): Calcula la valoración 2-ádica acumulada $v_2$ requerida por los componentes impares. Si la suma de $v_2(p^e+1)$ excede el presupuesto disponible $a+1$, el candidato es eliminado.
3. Análisis del Conjunto $H_{even}$: El artículo define $H_{even}$ como el conjunto de enteros pares $m$ tales que cada divisor primo de $2^m+1$ es 3-Higgs. La existencia de un nuevo NPU con una parte impar no libre de cuadrados está vinculada a la finitud de este conjunto. El autor reduce el problema al "caso primo" ($m=2p$) y analiza las propiedades estructurales de estos candidatos utilizando factorizaciones de Aurifeuillean y descensos profundos de árboles de Pratt.

Contribuciones y Resultados Clave

• Eliminación de Núcleos Impostores: Dentro de la caja acotada $B$, el autor identifica cinco "núcleos impostores" (además de los dos núcleos conocidos 32 y 54) que superan los filtros iniciales económicos. Mediante el certificado de tres filtros, el artículo demuestra que para todos los exponentes semilla $1 \le a \le 10,000$, no existe ningún NPU con una estructura de componente impar que refine estos núcleos impostores.
  • Estadísticas: De 2.119 candidatos en este rango, 495 fueron eliminados por el Filtro Z, 1.614 por el Filtro N y 10 por el Filtro O.
• Límites Rigurosos para $H_{even}$: El artículo proporciona límites verificados para el conjunto $H_{even}$:
  • $|H_{even} \cap [2, 40000]| \le 201$ (con 191 candidatos no decididos).
  • $|H_{even} \cap [2, 50000]| \le 272$ (con 262 candidatos no decididos).
  • Estos límites son rigurosos, basándose en transcripciones de verificación de primalidad APR-CL para primos testigo grandes (hasta 3053 dígitos) y un manejo conservador de factorizaciones parciales.
• Reducciones Estructurales:
  • Teorema 7: Demuestra que $H_{even}$ es finito si y solo si el subconjunto de casos primos $H_{even}^{prime} = \{2p \in H_{even} : p \text{ es primo}\}$ es finito. Además, $|H_{even}| \le 4^{|H_{even}^{prime}|}$.
  • Teorema 21: Establece un límite incondicional de "delgadez con ahorro de potencia" para $H_{even}$ (es decir, la cuenta crece como $O(X^{1-\eta})$), aunque esto no prueba la finitud.
• Identificación del Obstáculo Analítico: El artículo aísla la barrera precisa para probar la finitud. Mientras que el teorema de Ford proporciona un límite de densidad global para los primos 3-Higgs, es insuficiente a la escala de los divisores primitivos de los valores ciclotómicos $\Phi_{4p}(2)$. La tarea restante es un problema a nivel de divisor: demostrar que para $p$ grande, los divisores primos primitivos de $2^{2p}+1$ no pueden ser todos 3-Higgs.

Significado y Afirmaciones
El artículo declara explícitamente que no prueba la conjetura estricta de Subbarao–Warren (que solo existen cinco NPU). En cambio, logra una "eliminación de caja acotada" y un "frente finito verificado".

• Reducción a una Única Cuestión Analítica: El trabajo reduce el problema de encontrar nuevos NPU (dentro de la caja acotada) a la finitud de $H_{even}$, lo cual a su vez depende del comportamiento de los divisores primos de $\Phi_{4p}(2)$.
• Objetivo Preciso para Trabajo Futuro: El autor identifica el "teorema faltante" como una equidistribución a nivel de divisor o un límite de masa logarítmica para los factores primos de $\Phi_{4p}(2)$. Específicamente, el artículo formula la Conjetura 23 (Conjetura híbrida de semigrupo-friable de primos desplazados) y la Conjetura 29 (Equidistribución de divisores mod-16) como las condiciones necesarias para cerrar el problema.
• Reproducibilidad: El artículo enfatiza que todos los resultados computacionales son reproducibles. Proporciona una caché de factores, transcripciones de verificación APR-CL y scripts de Python (impostor_certificate.py, verify_Heven_rigorous.py) para verificar la eliminación de núcleos impostores y los límites de $H_{even}$.

En resumen, el artículo elimina rigurosamente todas las fuentes potenciales "impostoras" de nuevos NPU hasta un exponente semilla de 10.000 dentro de un espacio de búsqueda definido y reduce el problema abierto restante a una conjetura analítica específica y bien definida relativa a los divisores primos de los polinomios ciclotómicos.