Bounded-box reductions in the Subbarao-Warren problem for unitary perfect numbers

Resumo Técnico: Reduções de Caixa Limitada no Problema de Subbarao–Warren para Números Perfeitos Unitários

Enunciado do Problema
O artigo aborda o problema de Subbarao–Warren concernente aos Números Perfeitos Unitários (UPNs). Um inteiro positivo $n$ é um UPN se $\sigma^*(n) = 2n$, onde $\sigma^*$ soma os divisores unitários de $n$. Apenas cinco exemplos são atualmente conhecidos: 6, 60, 90, 87360 e 146361946186458562560000. A conjectura estrita postula que estes cinco são os únicos UPNs.

A equação definidora para um UPN $n = 2^a \prod p_i^{e_i}$ (com $p_i$ ímpares) é o "equilíbrio total":
$$(2^a + 1) \prod (p_i^{e_i} + 1) = 2^{a+1} \prod p_i^{e_i}$$
Aqui, $2^a + 1$ atua como o "fator semente" iniciando uma cascata de dependências. Todo divisor primo ímpar de um UPN deve ser um primo "3-Higgs" (um primo $p$ onde todo fator primo de $p-1$ também é 3-Higgs, com expoentes na fatoração prima de $p-1$ limitados por 3). O artigo investiga se novos UPNs podem existir analisando "núcleos impostores" — componentes fonte no grafo de dependência ímpar que não fazem parte dos exemplos conhecidos, mas satisfazem restrições estruturais iniciais.

Metodologia
O autor emprega uma combinação de enumeração computacional rigorosa e teoria analítica dos números, estruturada em torno de uma abordagem de "caixa limitada" e um sistema de certificação de três filtros.

1. Caixa de Enumeração Limitada ($B$): A busca é restrita a um domínio específico: primos $p \le 2000$, expoentes $e \le 6$, $p^e \le 10^9$ e componentes fortemente conexos (CFCs) de tamanho $\le 6$. Dentro desta caixa, o autor enumera CFCs compatíveis com a fonte.
2. Certificado de Três Filtros: Para cada núcleo candidato e expoente semente $a$, o artigo aplica três filtros rigorosos para eliminar a possibilidade de um UPN:
   • Filtro Z (Zsigmondy/Higgs): Utiliza o teorema de Zsigmondy para detectar obstruções de expoente onde divisores primos primitivos de $p^e+1$ violam as restrições 3-Higgs.
   • Filtro N (Testemunha Não-3-Higgs): Verifica divisores $m$ de $a$ (onde $a/m$ é ímpar). Se $2^m+1$ contiver um fator primo não-3-Higgs, a semente $2^a+1$ herda este fator, invalidando o candidato. Este filtro utiliza fatorações parciais do FactorDB e verificações recursivas de árvores de Pratt.
   • Filtro O (Excesso de Orçamento 2-ádico): Calcula a valoração 2-ádica cumulativa $v_2$ exigida pelos componentes ímpares. Se a soma de $v_2(p^e+1)$ exceder o orçamento disponível $a+1$, o candidato é eliminado.
3. Análise do Conjunto $H_{even}$: O artigo define $H_{even}$ como o conjunto de inteiros pares $m$ tais que todo divisor primo de $2^m+1$ é 3-Higgs. A existência de um novo UPN com parte ímpar não livre de quadrados está ligada à finitude deste conjunto. O autor reduz o problema ao "caso primo" ($m=2p$) e analisa as propriedades estruturais desses candidatos usando fatorações Aurifeuillean e descensos profundos em árvores de Pratt.

Principais Contribuições e Resultados

• Eliminação de Núcleos Impostores: Dentro da caixa limitada $B$, o autor identifica cinco "núcleos impostores" (além dos dois núcleos conhecidos 32 e 54) que passam pelos filtros iniciais baratos. Usando o certificado de três filtros, o artigo prova que, para todos os expoentes semente $1 \le a \le 10.000$, nenhum UPN existe com uma estrutura de componente ímpar que refine esses núcleos impostores.
  • Estatísticas: Dos 2.119 candidatos nesta faixa, 495 foram eliminados pelo Filtro Z, 1.614 pelo Filtro N e 10 pelo Filtro O.
• Limites Rigorosos para $H_{even}$: O artigo fornece limites verificados para o conjunto $H_{even}$:
  • $|H_{even} \cap [2, 40000]| \le 201$ (com 191 candidatos indecisos).
  • $|H_{even} \cap [2, 50000]| \le 272$ (com 262 candidatos indecisos).
  • Estes limites são rigorosos, baseando-se em transcrições de verificação de primalidade APR-CL para grandes primos testemunha (até 3053 dígitos) e tratamento conservador de fatorações parciais.
• Reduções Estruturais:
  • Teorema 7: Prova que $H_{even}$ é finito se e somente se o subconjunto de casos primos $H_{even}^{prime} = \{2p \in H_{even} : p \text{ é primo}\}$ for finito. Além disso, $|H_{even}| \le 4^{|H_{even}^{prime}|}$.
  • Teorema 21: Estabelece um limite incondicional de "finura com economia de potência" para $H_{even}$ (ou seja, a contagem cresce como $O(X^{1-\eta})$), embora isso não prove a finitude.
• Identificação do Obstáculo Analítico: O artigo isola a barreira precisa para provar a finitude. Embora o teorema de Ford forneça um limite de densidade global para primos 3-Higgs, ele é insuficiente na escala de divisores primitivos de valores ciclotômicos $\Phi_{4p}(2)$. A tarefa restante é um problema ao nível do divisor: provar que, para $p$ grande, os divisores primos primitivos de $2^{2p}+1$ não podem ser todos 3-Higgs.

Significância e Alegações
O artigo afirma explicitamente que não prova a conjectura estrita de Subbarao–Warren (de que apenas cinco UPNs existem). Em vez disso, alcança uma "eliminação de caixa limitada" e uma "fronteira finita verificada".

• Redução a uma Única Questão Analítica: O trabalho reduz o problema de encontrar novos UPNs (dentro da caixa limitada) à finitude de $H_{even}$, que por sua vez depende do comportamento dos divisores primos de $\Phi_{4p}(2)$.
• Alvo Preciso para Trabalho Futuro: O autor identifica o "teorema faltante" como um limite de equidistribuição ao nível do divisor ou de massa logarítmica para os fatores primos de $\Phi_{4p}(2)$. Especificamente, o artigo formula a Conjectura 23 (Conjectura híbrida de semigrupo-friável-primo deslocado) e a Conjectura 29 (Equidistribuição de divisores mod-16) como as condições necessárias para fechar o problema.
• Reprodutibilidade: O artigo enfatiza que todos os resultados computacionais são reproduzíveis. Fornece um cache de fatoração, transcrições de verificação APR-CL e scripts Python (impostor_certificate.py, verify_Heven_rigorous.py) para verificar a eliminação de núcleos impostores e os limites sobre $H_{even}$.

Em resumo, o artigo elimina rigorosamente todas as fontes potenciais "impostoras" para novos UPNs até um expoente semente de 10.000 dentro de um espaço de busca definido e reduz o problema aberto restante a uma conjectura analítica específica e bem definida concernente aos divisores primos de polinômios ciclotômicos.