Maximal global device-independent randomness from projective measurements in every dimension

기술 요약: 모든 차원에서 투영 측정(Projective Measurements)을 이용한 최대 전역 장치 독립적 무작위성

문제 정의
장치의 내부 작동 방식을 신뢰할 필요 없이 관찰된 측정 통계만을 바탕으로 사적인 무작위성을 인증할 수 있게 해주는 장치 독립적 양자 무작위수 생성(DIQRNG)은 이론적으로 일반화된(비투영) 측정을 사용할 경우 국소 차원 $d$에서 최대 $2 \log(d)$ 비트의 무작위성을 인증할 수 있다고 확립되어 있다. 그러나 이러한 측정을 실제로 구현하는 것은 매우 까다롭다. 투영 측정이 가장 실험적으로 실행 가능한 옵션이지만, 모든 차원 $d \ge 2$에 대해 투영 측정만을 사용하여 이론적 최대치인 $2 \log(d)$ 비트의 전역적 무작위성(양측 모두를 위해 인증된)을 달착할 수 있는가에 대한 중요한 미해결 문제가 남아 있었다. 이를 확인했던 이전의 결과들은 큐비트 사례($d=2$)로 제한되어 있었다.

방법론
저자들은 Ref. [15]에서 도입된 벨 부등식 군(family)을 무작위성 생성을 위한 특정 측정 설정을 포함하도록 수정하여 명시적인 DIQRNG 프로토콜을 구축함으로써 이 문제를 해결한다.

1. 벨 부등식 구축: 프로토콜은 정수 $d \ge 2$에 의해 매개되는 벨 부등식 $\hat{W}_d(p)$를 활용한다. 이 시나리오에서:

   • 앨리스는 두 개의 설정($x \in \{1, 2\}$)을 가지며, 각 설정은 $d$개의 결과를 갖는다.
   • 밥은 $d^2 + 1$개의 설정을 가진다. 첫 $d^2$개의 설정은 Ref. [15]의 기본 부등식 위반을 극대화하는 데 사용되며, 마지막 설정인 'r'은 무작위성 생성을 위해 특별히 설계되었다.
   • 이 부등식은 Ref. [15]의 원래 항들과 밥의 'r' 설정 및 앨리스의 첫 번째 설정을 포함하는 새로운 항을 결합한다.

2. 셀프 테스팅 및 인증: 저자들은 벨 연산자의 제곱합(sum-of-squares, SOS) 분해를 사용하여 최대 양자 값을 $\sqrt{d(d-1)} + 1$로 도출한다. 최대 위반을 달성하기 위한 조건을 분석함으로써, 저자들은 상태와 측정에 대한 대수적 제약 조건을 유도한다:

   • 기저 상태는 차원 $d$에서의 최대 얽힘 상태 $|\phi^+_d\rangle$에 국소 등거리(locally isometric)여야 한다.
   • 앨리스의 측정은 상호 무biased 기저(mutually unbiased bases, MUBs)의 특성을 갖는 특정 대수적 관계를 만족해야 한다.
   • 결정적으로, 이 제약 조건들은 밥의 'r' 측정 연산자가 투영적이어야 하며, 앨리스의 첫 번째 측정 연산자와 (계산 기저에서의 전치(transposition)를 통해) 완벽하게 상관되어 있어야 함을 강제한다.

3. 엔트로피 계산: 이러한 셀프 테스팅 제약을 사용하여, 저자들은 앨리스의 두 번째 설정과 밥의 'r' 설정에 대응하는 클래식-양자 상태 $\sigma_{ABE}$를 계산한다. 저자들은 최대 위반과 호환되는 모든 상태와 측정에 대해, 조건부 폰 노이만 엔트로피 $H(A, B|E)$—즉, 장치 독립적 무작위성을 정량화하는 값—가 $\log(d^2) = 2 \log(d)$와 같음을 입증한다.

4. 강건성 분석: 실험적 불완전함이 정확한 최대 위반을 방해한다는 점을 인식하여, 저자들은 노이즈가 있는 시나리오에 대해 인증된 무작위성(최소 엔트로피)의 하한을 수치적으로 계산한다. 저자들은 $d=3$ 및 $d=4$ 차원에 대해 레벨 $1+AB$의 Navascués-Pironio-Acín (NPA) 계층 구조를 사용하여 추측 확률을 제한하며, 이를 표준 modCHSH 부등식($d=2$)과 비교한다.

주요 기여 및 결과

• 이론적 최대치 달성: 본 논문은 모든 차원 $d \ge 2$에 대해, 오직 투영 측정만을 사용하여 이론적 최대치인 $2 \log(d)$ 비트의 전역 장치 독립적 무작위성을 인증하는 것이 가능하다는 것을 증명한다. 이는 기존 지식이 $d=2$에 국한되었던 문제를 해결한다.
• 명시적 프로토콜: 저자들은 상호 무biased 기저를 기반으로 하여 이 경계치를 달성하는 명시적인 프로토콜을 제공한다. 이 프로토콜은 최대 위반이 시스템이 최대 얽힘 상태를 상호 무biased 기저에서 측정하고 있음을 인증하는 특정 벨 부등식에 의존한다.
• 노이즈 강건성: 수치 시뮬레이션은 이 프로토콜들이 실험적 노이즈에 강건함을 보여준다. $d=3$ 및 $d=4$ 차원의 경우, 인증된 무작위성은 노이즈 수준이 $\eta \approx 0.997$ 및 $\eta \approx 0.998$일 때 각각 2 비트(d=2의 최대치)를 초과한다. 이러한 노이즈 수준은 현재의 큐비트 실험에서 보고된 것들과 유사하며, 이는 고차원 시스템의 이점이 현재 기술로 충분히 도달 가능하다는 것을 시사한다.

의의
본 연구는 가장 실험적으로 접근 가능한 유형의 측정(투영)을 사용하여 모든 차원에서 장치 독립적 무작위성 생성의 이론적 한계에 도달할 수 있음을 확립한다. 전역 무작위성이 $2 \log(d)$로 스케일링됨을 보여줌으로써, 이 논문은 복잡한 비투영 측정을 요구하지 않고도 보안 무작위수 생성률을 극대화하기 위해 고차원 양자 시스템을 사용하는 것에 동기를 부여한다. 저자들은 강건한 셀프 테스팅을 위한 해석적 기법이 이 프로토콜을 더욱 강화할 수 있음을 언급하면서도, 현재의 수치적 증거가 이러한 체계의 실질적인 실행 가능성을 확인해 준다고 밝힌다. 또한, 전역 무작위성 인증에 관한 유사한 결과가 Ref. [30]에서도 독립적으로 개발되었음을 명시한다.