Maximal global device-independent randomness from projective measurements in every dimension

技术摘要：通过各维度下的投影测量实现最大全局设备无关随机性

问题陈述
设备无关量子随机数生成（DIQRNG）允许基于观测到的测量统计量来认证私有随机性，而无需信任设备的内部工作原理。虽然理论上已证明，单方使用广义（非投影）测量在局部维度 $d$ 下最多可以认证 $2 \log(d)$ 比特的随机性，但实现这些测量的实际操作具有挑战性。投影测量是最易于实验实现的选项。然而，一个关键的开放性问题仍然存在：是否可以使用仅针对所有维度 $d \ge 2$ 的投影测量，来实现 $2 \log(d)$ 比特的全局随机性（即为双方共同认证的随机性）这一理论最大值？此前确认了这一结论的研究仅限于量子比特情况（$d=2$）。

方法论
作者通过构建基于一类最初在文献 [15] 中引入的贝尔不等式的显式 DIQRNG 协议来解决这一问题，并对该不等式进行了调整，以包含一个特定的随机性生成测量设置。

1. 贝尔不等式构建： 该协议利用了一个由整数 $d \ge 2$ 参数化的贝尔不等式 $\hat{W}_d(p)$。在此场景中：

   • Alice 有两个设置（$x \in \{1, 2\}$），每个设置有 $d$ 个结果。
   • Bob 有 $d^2 + 1$ 个设置。前 $d^2$ 个设置用于最大化违反文献 [15] 中的基础不等式，而最后一个设置，标记为 'r'，则是专门为生成随机性而设计的。
   • 该不等式结合了来自原始文献 [15] 的项与一个涉及 Bob 的 'r' 设置和 Alice 的第一个设置的新项。

2. 自测试与认证： 作者利用贝尔算子的平方和（SOS）分解来推导最大量子值，该值为 $\sqrt{d(d-1)} + 1$。通过分析达到此最大违反值所需的条件，他们推导出了关于态和测量的代数约束：

   • 底层态必须在局部上与维度 $d$ 的最大纠缠态 $|\phi^+_d\rangle$ 局部等距。
   • Alice 的测量必须满足互补正交基（MUBs）的特定代数关系。
   • 至关重要的是，这些约束强制要求 Bob 的 'r' 测量算子是投影性的，并且通过计算基下的转置与 Alice 的第一个测量算子完美相关。

3. 熵计算： 利用这些自测试约束，作者计算了对应于 Alice 的第二个设置和 Bob 的 'r' 设置的经典-量子态 $\sigma_{ABE}$。他们证明了对于任何符合最大违反值的态和测量，条件冯·诺依曼熵 $H(A, B|E)$——即量化设备无关随机性的指标——等于 $\log(d^2) = 2 \log(d)$。

4. 鲁棒性分析： 考虑到实验缺陷会导致无法实现精确的最大违反，作者通过数值计算计算了噪声场景下认证随机性（最小熵）的下界。他们利用 $1+AB$ 层级的 Navascués-Pironio-Acín (NPA) 层级对维度 $d=3$ 和 $d=4$ 的猜测概率进行了界定，并将其与标准的 modCHSH 不等式（$d=2$）进行了比较。

主要贡献与结果

• 实现理论最大值： 本文证明了对于每个维度 $d \ge 2$，使用仅投影测量即可认证理论最大值 $2 \log(d)$ 比特的全局设备无关随机性。这解决了关于投影测量全局极限的开放性问题，扩展了此前仅限于 $d=2$ 的已知结论。
• 显式协议： 作者提供了基于互补正交基（MUBs）的显式协议，这些协议达到了上述界限。这些协议依赖于一种特定的贝尔不等式，该不等式的最大违反证实了系统表现为在互补正交基下测量的最大纠缠态。
• 噪声鲁棒性： 数值模拟表明，这些协议对实验噪声具有鲁棒性。对于维度 $d=3$ 和 $d=4$，在噪声水平 $\eta \approx 0.997$ 和 $\eta \approx 0.998$ 时，认证的随机性分别超过了 2 比特（$d=2$ 的最大值）。这些噪声水平与当前量子比特实验中报告的水平相当，表明高维系统的优势已处于当前技术可及范围之内。

意义
这项工作确立了在任何维度下，使用最易于实验实现的测量类型（投影测量）均可实现理论上的设备无关随机性生成极限。通过展示全局随机性如何随 $2 \log(d)$ 缩放，本文旨在推动使用高维量子系统，从而在不需要复杂的非投影测量的情况下，最大化安全随机数生成的速率。作者指出，虽然用于鲁棒自测试的解析技术将进一步加强这些协议，但目前的数值证据已证实了这些方案的实际可行性。论文同时指出，关于全局随机性认证的类似结果已在文献 [30] 中被独立开发。