Maximal global device-independent randomness from projective measurements in every dimension

Résumé technique : Maximalité du hasard global indépendant des dispositifs à partir de mesures projectives dans toutes les dimensions

Énoncé du problème
La génération de nombres aléatoires quantiques indépendante des dispositifs (DIQRNG) permet de certifier un hasard privé en se basant uniquement sur les statistiques de mesure observées, sans nécessiter de confiance dans le fonctionnement interne des dispositifs. Bien qu'il soit théoriquement établi qu'un seul acteur peut certifier un maximum de $2 \log(d)$ bits de hasard dans une dimension locale $d$ en utilisant des mesures généralisées (non projectives), la mise en œuvre pratique de ces mesures est complexe. Les mesures projectives constituent l'option la plus expérimentalement réalisable. Cependant, une question ouverte cruciale demeurait : est-il possible d'atteindre le maximum théorique de $2 \log(d)$ bits de hasard global (certifié conjointement pour les deux parties) en utilisant uniquement des mesures projectives pour toutes les dimensions $d \ge 2$ ? Les résultats précédents confirmant cela étaient limités au cas du qubit ($d=2$).

Méthodologie
Les auteurs abordent ce problème en construisant des protocoles explicites de DIQRNG basés sur une famille d'inégalités de Bell introduites dans la réf. [15], adaptées pour inclure un réglage de mesure spécifique pour la génération de hasard.

1. Construction de l'inégalité de Bell : Le protocole utilise une inégalité de Bell $\hat{W}_d(p)$ paramétrée par un entier $d \ge 2$. Dans ce scénario :

   • Alice possède deux réglages ($x \in \{1, 2\}$), chacun avec $d$ résultats.
   • Bob possède $d^2 + 1$ réglages. Les $d^2$ premiers réglages sont utilisés pour maximiser la violation de l'inégalité de base de la réf. [15], tandis que le dernier réglage, nommé 'r', est spécifiquement conçu pour générer du hasard.
   • L'inégalité combine des termes de l'inégalité originale de la réf. [15] avec un nouveau terme impliquant le réglage 'r' de Bob et le premier réglage d'Alice.

2. Auto-test et certification : Les auteurs utilisent une décomposition de type somme de carrés (SOS) de l'opérateur de Bell pour dériver la valeur quantique maximale, qui est $\sqrt{d(d-1)} + 1$. En analysant les conditions requises pour atteindre cette violation maximale, ils dérivent des contraintes algébriques sur l'état et les mesures :

   • L'état sous-jacent doit être localement isométrique à un état maximalement enchevêtré $|\phi^+_d\rangle$ de dimension $d$.
   • Les mesures d'Alice doivent satisfaire des relations algébriques spécifiques caractéristiques des bases mutuellement non biaisées (MUBs).
   • Crucialement, les contraintes forcent les opérateurs de mesure 'r' de Bob à être projectifs et parfaitement corrélés avec les opérateurs de la première mesure d'Alice (via la transposition dans la base computationnelle).

3. Calcul de l'entropie : En utilisant ces contraintes d'auto-test, les auteurs calculent l'état classique-quantique $\sigma_{ABE}$ correspondant aux résultats du second réglage d'Alice et du réglage 'r' de Bob. Ils démontrent que pour tout état et toute mesure compatibles avec la violation maximale, l'entropie de von Neumann conditionnelle $H(A, B|E)$ — qui quantifie le hasard indépendant des dispositifs — est égale à $\log(d^2) = 2 \log(d)$.

4. Analyse de la robustesse : Reconnaissant que les imperfections expérimentales empêchent une violation maximale exacte, les auteurs calculent numériquement des bornes inférieures sur le hasard certifié (entropie minimale) pour des scénarios bruités. Ils utilisent la hiérarchie de Navascués-Pironio-Acín (NPA) au niveau $1+AB$ pour borner la probabilité de devinette pour les dimensions $d=3$ et $d=4$, comparant ces résultats à l'inégalité modCHSH standard ($d=2$).

Contributions clés et résultats

• Atteinte du maximum théorique : L'article prouve que pour chaque dimension $d \ge 2$, il est possible de certifier le maximum théorique de $2 \log(d)$ bits de hasard global indépendant des dispositifs en utilisant uniquement des mesures projectives. Cela résout la question ouverte concernant la limite globale pour les mesures projectives, étendant les connaissances précédentes qui étaient restreintes à $d=2$.
• Protocoles explicites : Les auteurs fournissent des protocoles explicites basés sur des bases mutuellement non biaisées qui atteignent cette borne. Les protocoles reposent sur une inégalité de Bell spécifique où la violation maximale certifie que le système se comporte comme un état maximalement enchevêtré mesuré dans des bases mutuellement non biaisées.
• Robustesse au bruit : Les simulations numériques démontrent que les protocoles sont robustes au bruit expérimental. Pour les dimensions $d=3$ et $d=4$, le hasard certifié dépasse 2 bits (le maximum pour $d=2$) à des niveaux de bruit $\eta \approx 0,997$ et $\eta \approx 0,998$, respectivement. Ces niveaux de bruit sont comparables à ceux rapportés dans les expériences actuelles sur les qubits, suggérant que les avantages des systèmes de dimension supérieure sont à la portée de la technologie actuelle.

Signification
Ce travail établit que la limite théorique de la génération de hasard indépendant des dispositifs est atteignable dans n'importe quelle dimension en utilisant le type de mesure le plus expérimentalement accessible (projective). En montrant que le hasard global passe à l'échelle comme $2 \log(d)$, l'article motive l'utilisation de systèmes quantiques de dimension supérieure pour maximiser le taux de génération de nombres aléatoires sécurisés sans nécessiter de mesures non projectives complexes. Les auteurs notent que bien que des techniques analytiques pour un auto-test robuste renforceraient davantage ces protocoles, les preuves numériques actuelles confirment la viabilité pratique de ces schémas. L'article reconnaît également que des résultats similaires concernant la certification du hasard global ont été développés indépendamment dans la réf. [30].