Maximal global device-independent randomness from projective measurements in every dimension

Resumen Técnico: Aleatoriedad Global Máxima Independiente del Dispositivo mediante Mediciones Proyectivas en Todas las Dimensiones

Planteamiento del Problema
La generación de números aleatorios cuánticos independiente del dispositivo (DIQRNG) permite la certificación de la aleatoriedad privada basándose únicamente en las estadísticas de medición observadas, sin requerir confianza en el funcionamiento interno de los dispositivos. Si bien está establecido teóricamente que una sola parte puede certificar un máximo de $2 \log(d)$ bits de aleatoridad en una dimensión local $d$ utilizando mediciones generalizadas (no proyectivas), la implementación práctica de tales mediciones es un desafío. Las mediciones proyectivas son la opción experimentalmente más factible. Sin embargo, una pregunta abierta crítica persistía: ¿se puede alcanzar el máximo teórico de $2 \log(d)$ bits de aleatoriedad global (certificada para ambas partes conjuntamente) utilizando únicamente mediciones proyectivas para todas las dimensiones $d \ge 2$? Los resultados previos que confirmaban esto se limitaban al caso de los qubits ($d=2$).

Metodología
Los autores abordan esto construyendo protocolos de DIQRNG explícitos basados en una familia de desigualdades de Bell introducidas originalmente en la Ref. [15], adaptadas para incluir un ajuste de medición específico para la generación de aleatoridad.

1. Construcción de la Desigualdad de Bell: El protocolo utiliza una desigualdad de Bell $\hat{W}_d(p)$ parametrizada por un entero $d \ge 2$. En este escenario:

   • Alicia tiene dos ajustes ($x \in \{1, 2\}$), cada uno con $d$ resultados.
   • Bob tiene $d^2 + 1$ ajustes. Los primeros $d^2$ ajustes se utilizan para maximizar la violación de la desigualdad base de la Ref. [15], mientras que el último ajuste, etiquetado como 'r', está diseñado específicamente para generar aleatoridad.
   • La desigualdad combina términos de la desigualdad original de la Ref. [15] con un nuevo término que involucra el ajuste 'r' de Bob y el primer ajuste de Alicia.

2. Auto-testeo y Certificación: Los autores emplean una descomposición de suma de cuadrados (SOS) del operador de Bell para derivar el valor cuántico máximo, que es $\sqrt{d(d-1)} + 1$. Al analizar las condiciones para alcanzar esta violación máxima, derivan restricciones algebraicas sobre el estado y las mediciones:

   • El estado subyacente debe ser localmente isométrico a un estado máximamente entrelazado $|\phi^+_d\rangle$ en dimensión $d$.
   • Las mediciones de Alicia deben satisfacer relaciones algebraicas específicas características de las bases mutuamente no sesgadas (MUBs).
   • Crucialmente, las restricciones fuerzan a los operadores de medición de 'r' de Bob a ser proyectivos y perfectamente correlacionados con los operadores de la primera medición de Alicia (mediante transposición en la base computacional).

3. Cálculo de la Entropía: Utilizando estas restricciones de auto-testeo, los autores calculan el estado clásico-cuántico $\sigma_{ABE}$ correspondiente a los resultados del segundo ajuste de Alicia y el ajuste 'r' de Bob. Demuestran que para cualquier estado y mediciones compatibles con la violación máxima, la entropía de von Neumann condicional $H(A, B|E)$ —que cuantifica la aleatoridad independiente del dispositivo— es igual a $\log(d^2) = 2 \log(d)$.

4. Análisis de Robustez: Reconociendo que las imperfecciones experimentales impiden la violación máxima exacta, los autores computan numéricamente cotas inferiores para la aleatoridad certificada (entropía mínima) en escenarios ruidosos. Utilizan la jerarquía de Navascués-Pironio-Acín (NPA) al nivel $1+AB$ para acotar la probabilidad de adivinación para las dimensiones $d=3$ y $d=4$, comparando estos resultados con la desigualdad modCHSH estándar ($d=2$).

Contribuciones Clave y Resultados

• Logro del Máximo Teórico: El artículo demuestra que para cada dimensión $d \ge 2$, es posible certificar el máximo teórico de $2 \log(d)$ bits de aleatoridad global independiente del dispositivo utilizando únicamente mediciones proyectivas. Esto resuelve la cuestión abierta respecto al límite global para mediciones proyectivas, extendiendo el conocimiento previo que estaba restringido a $d=2$.
• Protocolos Explícitos: Los autores proporcionan protocolos explícitos basados en bases mutuamente no sesgadas que alcanzan este límite. Los protocolos dependen de una desigualdad de Bell específica donde la violación máxima certifica que el sistema se comporta como un estado máximamente entrelazado medido en bases mutuamente no sesgadas.
• Robustez al Ruido: Las simulaciones numéricas demuestran que los protocolos son robustos al ruido experimental. Para las dimensiones $d=3$ y $d=4$, la aleatoridad certificada excede los 2 bits (el máximo para $d=2$) a niveles de ruido $\eta \approx 0.997$ y $\eta \approx 0.998$, respectivamente. Estos niveles de ruido son comparables a los reportados en experimentos actuales de qubits, lo que sugiere que las ventajas de los sistemas de mayor dimensión están al alcance de la tecnología actual.

Significancia
El trabajo establece que el límite teórico de la generación de aleatoridad independiente del dispositivo es alcanzable en cualquier dimensión utilizando el tipo de medición más accesible experimentalmente (proyectiva). Al mostrar que la aleatoridad global escala como $2 \log(d)$, el artículo motiva el uso de sistemas cuánticos de mayor dimensión para maximizar la tasa de generación de números aleatorios seguros sin requerir mediciones complejas no proyectivas. Los autores señalan que, si bien las técnicas analíticas para un auto-testeo robusto fortalecerían aún más estos protocolos, la evidencia numérica actual confirma la viabilidad práctica de estos esquemas. El artículo también reconoce que resultados similares respecto a la certificación de la aleatoridad global fueron desarrollados independientemente en la Ref. [30].