Maximal global device-independent randomness from projective measurements in every dimension

Technische Samenvatting: Maximale Globale Device-Onafhankelijke Willekeur uit Projectieve Metingen in Elke Dimensie

Probleemstelling
Device-onafhankelijke kwantumwillekeurgeneratie (DIQRNG) maakt het mogelijk om de certificering van private willekeur te baseren op louter geobserveerde meetstatistieken, zonder dat men kennis moet hebben van de interne werking van de apparaten. Hoewel het theoretisch vaststaat dat een enkele partij maximaal $2 \log(d)$ bits aan willekeur kan certificeren in een lokale dimensie $d$ met behulp van gegeneraliseerde (niet-projectieve) metingen, is de praktische implementatie van dergelijke metingen uitdagend. Projectieve metingen zijn de meest experimenteel haalbare optie. Er bleef echter een cruciale openstaande vraag bestaan: kan het theoretische maximum van $2 \log(d)$ bits aan globale willekeur (gezamenlijk gecertificeerd voor beide partijen) worden bereikt met uitsluitend projectieve metingen voor alle dimensies $d \ge 2$? Eerdere resultaten die dit bevestigden, waren beperkt tot het qubit-geval ($d=2$).

Methodologie
De auteurs pakken dit aan door expliciete DIQRNG-protocollen te construeren op basis van een familie van Bell-ongelijkheden, oorspronkelijk geïntroduceerd in Ref. [15], aangepast om een specifieke meetinstelling voor willekeurgeneratie te bevatten.

1. Constructie van de Bell-ongelijkheid: Het protocol maakt gebruik van een Bell-ongelijkheid $\hat{W}_d(p)$ geparametriseerd door een geheel getal $d \ge 2$. In dit scenario heeft:

   • Alice twee instellingen ($x \in \{1, 2\}$), elk met $d$ uitkomsten.
   • Bob $d^2 + 1$ instellingen. De eerste $d^2$ instellingen worden gebruikt om de maximale schending van de basis-ongelijkheid uit Ref. [15] te maximaliseren, terwijl de laatste instelling, aangeduid als 'r', specifiek is ontworpen voor het genereren van willekeur.
   • De ongelijkheid combineert termen uit de oorspronkelijke Ref. [15] met een nieuwe term die betrokken is bij Bob's 'r'-instelling en Alice's eerste instelling.

2. Self-Testing en Certificering: De auteurs maken gebruik van een sum-of-squares (SOS) decompositie van de Bell-operator om de maximale kwantumwaarde af te leiden, die $\sqrt{d(d-1)} + 1$ is. Door de voorwaarden te analyseren die nodig zijn om deze maximale schending te bereiken, leiden zij algebraïsche restricties af voor de toestand en de metingen:

   • De onderliggende toestand moet lokaal isometrisch zijn aan een maximaal verstrengelde toestand $|\phi^+_d\rangle$ in dimensie $d$.
   • Alice's metingen moeten voldoen aan specifieke algebraïsche relaties die kenmerkend zijn voor wederzijds onevenwichtige bases (MUBs).
   • Cruciaal is dat de restricties Bob's 'r'-meetoperators dwingen om projectief te zijn en perfect gecorreleerd te zijn met Alice's eerste meetoperators (via transpositie in de computationele basis).

3. Entropieberekening: Gebruikmakend van deze self-testing restricties, berekenen de auteurs de klassiek-kwantum toestand $\sigma_{ABE}$ die overeenkomt met de uitkomsten van Alice's tweede instelling en Bob's 'r'-instelling. Zij demonstreren dat voor elke toestand en meting compatibel met de maximale schending, de conditionele von Neumann entropie $H(A, B|E)$ — die de device-onafhankelijke willekeur kwantificeert — gelijk is aan $\log(d^2) = 2 \log(d)$.

4. Robuustheidsanalyse: In het besef dat experimentele imperfecties een exacte maximale schending verhinderen, berekenen de auteurs numeriek de ondergrenzen voor de gecertificeerde willekeur (min-entropie) in scenario's met ruis. Zij gebruiken de Navascués-Pironio-Acín (NPA) hiërarchie op niveau $1+AB$ om de gokkans te begrenzen voor dimensies $d=3$ en $d=4$, en vergelijken deze met de standaard modCHSH-ongelijkheid ($d=2$).

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Bereiking van het Theoretisch Maximum: Het artikel bewijst dat het voor elke dimensie $d \ge 2$ mogelijk is om de theoretische maximum van $2 \log(d)$ bits aan globale device-onafhankelijke willekeur te certificeren met uitsluitend projectieve metingen. Dit lost de openstaande vraag op over de globale limiet voor projectieve metingen, waarmee de eerdere kennis, die beperkt was tot $d=2$, wordt uitgebreid.
• Expliciete Protocollen: De auteurs bieden expliciete protocollen aan gebaseerd op wederzijds onevenwichtige bases die deze grens bereiken. De protocollen rusten op een specifieke Bell-ongelijkheid waarbij de maximale schending certificeert dat het systeem zich gedraagt als een maximaal verstrengelde toestand gemeten in wederzijds onevenwichtige bases.
• Ruisrobuustheid: Numerieke simulaties tonen aan dat de protocollen robuust zijn tegen experimentele ruis. Voor dimensies $d=3$ en $d=4$ overstijgt de gecertificeerde willekeur 2 bits (het maximum voor $d=2$) bij ruisniveaus van $\eta \approx 0.997$ en $\eta \approx 0.998$, respectievelijk. Deze ruisniveaus zijn vergelijkbaar met de niveaus die in huidige qubit-experimenten worden gerapporteerd, wat suggereert dat de voordelen van hogere-dimensie systemen binnen het bereik van de huidige technologie liggen.

Betekenis
Dit werk stelt vast dat de theoretische limiet van device-onafhankelijke willekeurgeneratie in elke dimensie haalbaar is met de meest experimenteel toegankelijke typen metingen (projectief). Door aan te tonen dat globale willekeur schaalt als $2 \log(d)$, motiveert het artikel het gebruik van hogere-dimensie kwantumsystemen om de snelheid van veilige willekeurgeneratie te maximaliseren zonder complexe niet-projectieve metingen te vereisen. De auteurs merken op dat hoewel analytische technieken voor robuuste self-testing de protocollen verder zouden versterken, het huidige numerieke bewijs de praktische levensvatbaarheid van deze schema's bevestigt. Het artikel erkent ook dat vergelijkbare resultaten met betrekking tot de certificering van globale willekeur onafhankelijk zijn ontwikkeld in Ref. [30].