Maximal global device-independent randomness from projective measurements in every dimension

技術要約：あらゆる次元における射影測定を用いた極大グローバル・デバイス非依存ランダムネス

問題提起
デバイス非依存量子乱数生成（DIQRNG）は、デバイスの内部動作を信頼することなく、観測された測定統計のみに基づいて、プライベートなランダムネスを認証することを可能にする。理論的には、一般化された（非射影的な）測定を用いることで、局所次元 $d$ において最大 $2 \log(d)$ ビットのランダムネスを単一の当事者が認証できることが確立されているが、これらの測定の実装は困難である。射影測定は最も実験的に実現可能な選択肢である。しかし、射る次元 $d \ge 2$ のすべてにおいて、射影測定のみを用いて、グローバルなランダムネス（両当事者に共通して認証されるもの）の理論的最大値 $2 \log(d)$ を達成できるかという重要な未解決問題が残されていた。これを裏付けるこれまでの結果は、量子ビットのケース（$d=2$）に限定されていた。

手法
著者らは、Ref. [15] で導入されたベル不等式のファミリーに基づき、ランダムネス生成のための特定の測定設定を含む、明示的な DIQRNG プロトコルを構築することでこの問題に取り組んでいる。

1. ベル不等式の構築: プロトコルは、整数 $d \ge 2$ によってパラメータ化されたベル不等式 $\hat{W}_d(p)$ を利用する。このシナリオでは：

   • アリスは2つの設定（$x \in \{1, 2\}$）を持ち、それぞれ $d$ 個の結果を持つ。
   • ボブは $d^2 + 1$ 個の設定を持つ。最初の $d^2$ 個の設定は、Ref. [15] の基本不等式の破れを最大化するために使用され、最後の設定（'r' とラベル付け）は、ランダムネス生成のために特別に設計されている。
   • この不等式は、Ref. [15] の元の項と、ボブの 'r' 設定およびアリスの第1設定を含む新しい項を組み合わせたものである。

2. セルフテスティングと認証: 著者らは、ベル演算子の平方和（SOS）分解を用いて、最大量子値 $\sqrt{d(d-1)} + 1$ を導出する。最大破れの条件を分析することにより、状態と測定に関する代数的な制約を導き出す：

   • 基底となる状態は、次元 $d$ における最大もつれ状態 $|\phi^+_d\rangle$ に局所同型である必要がある。
   • アリスの測定は、互いに非直交な基底（MUBs）の特徴である特定の代数的関係を満たさなければならない。
   • 決定的なことに、これらの制約により、ボブの 'r' 測定演算子が射影的であり、かつアリスの第1測定演算子と（計算基底における転置を介して）完全に相関していることが強制される。

3. エントロピー計算: これらのセルフテスティングの制約を用いて、アリスの第2設定とボブの 'r' 設定に対応する古典的量子状態 $\sigma_{ABE}$ を計算する。著者らは、最大破れと互換性のある任意の状態および測定に対して、条件付きフォン・ノイマン・エントロピー $H(A, B|E)$（これはデバイス非依存ランダムネスを定量化するものである）が $\log(d^2) = 2 \log(d)$ に等しいことを証明する。

4. ロバスト性解析: 実験的な不完全性が厳密な最大破れを妨げることを認識し、著者らは、ノイズが存在するシナリオにおける認証されたランダムネス（最小エントロピー）の下限を数値的に計算する。彼らは、次元 $d=3$ および $d=4$ について、推測確率を抑えるためにレベル $1+AB$ の Navascués-Pironio-Acín (NPA) ヒエラルキーを利用し、標準的な modCHSH 不等式（$d=2$）と比較を行う。

主な貢献と結果

• 理論的最大値の達成: 本論文は、あらゆる次元 $d \ge 2$ において、射影測定のみを用いて、理論的な最大値である $2 \log(d)$ ビットのグローバル・デバイス非依存ランダムネスを認証することが可能であることを証明している。これは、これまでの知見が $d=2$ に限定されていた、射影測定によるグローバルな限界に関する未解決問題を解決するものである。
• 明示的なプロトコル: 著者らは、互いに非直交な基底（MUBs）に基づく明示的なプロトコルを提供している。これらのプロトコルは、最大破れが、システムが最大もつれ状態を MUBs で測定している振る舞いであることを認証する特定のベル不等式に依存している。
• ノイズへのロバスト性: 数値シミュレーションは、これらのプロトコルが実験ノイズに対してロバストであることを示している。次元 $d=3$ および $d=4$ において、認証されるランダムネスは、ノイズレベル $\eta \approx 0.997$ および $\eta \approx 0.998$ において、2ビット（$d=2$ の最大値）を超えている。これらのノイズレベルは現在の量子ビット実験で報告されているものと同等であり、高次元システムの利点が現在の技術の範囲内にあることを示唆している。

意義
本研究は、最も実験的にアクセスしやすいタイプの測定（射影測定）を用いて、あらゆる次元においてデバイス非依存ランダムネス生成の理論的限界が達成可能であることを確立している。グローバルなランダムネスが $2 \log(d)$ としてスケールすることを示すことで、本論文は、複雑な非射影的測定を必要とせずに、安全な乱数生成のレートを最大化するための高次元量子系の使用を動機付けている。著者らは、ロバストなセルフテスティングのための解析的手法がこれらのプロトコルをさらに強化するであろうと述べているが、現在の数値的証拠はこれらのスキームの実用的な実行可能性を裏付けている。また、本論文は、グローバルなランダムネス認証に関する同様の結果が Ref. [30] において独立して開発されたことにも言及している。