Implementation of Hyperelastic Physics-Augmented Neural Networks in the Explicit Finite Element Codes Simcenter Radioss and OpenRadioss with Applications to Impact Events

기술 요약: 명시적 유한 요소 코드 내 하이퍼엘라스틱 물리 증강 신경망(PANN)의 구현

문제 정의
데이터 기반 재료 모델링, 특히 물리 증강 신경망(PANN)은 고전적 모델을 넘어 복잡한 구성 동작을 포착할 수 있는 유망한 방안을 제시한다. 그러나 이를 산업 공학 시뮬레이션에 도입하는 데 있어 큰 장벽은 머신러닝 프레임워크(예: PyTorch, TensorFlow)와 기존의 명시적 유한 요소 솔버(예: SIMCENTER RADIOSS, OPENRADIOSS) 간의 통합 격차이다. 직접적인 결합은 의존성을 유발하고, 계산 효율성을 저하시키며, 표준 워크플로를 복잡하게 만든다. 또한, PANN은 이론적으로는 견고하지만, 자동 미분(automatic differentiation)을 사용할 수 없는 Fortran과 같은 컴파일 언어로 작성된 사용자 정의 재료 루틴을 사용하는 고성능 명시적 동역학 코드에서 구현할 때는 계산 비용에 대한 세심한 주의가 필요하다.

방법론
저자들은 PANN 기반 하이퍼엘라스틱 재료 모델을 SIMCENTER RADIOSS 및 OPENRADIOSS에 통합하는 워크플로를 제시한다. 핵심 방법론은 다음과 같다:

1. 훈련 및 아키텍처: PANN은 응력을 직접 예측하는 대신 스칼라 변형 에너지 밀도 함수($\psi$)를 표현하도록 PyTorch에서 훈련된다. 이는 열역학적 일관성을 보장한다. 네트워크는 다중 볼록성(polyconvexity)을 강제하기 위해 양수 가중치와 볼록하고 단조 증가하는 활성화 함수를 사용하는 입력 볼록 신경망(ICNN) 아키텍처를 활용한다. 입력값은 등방성 불변량 $I_1$과 수정된 $I_2^* = I_2^{3/2}$이다.
2. 코드 생성: Python 스크립트는 독립형 Fortran 사용자 재료 루틴을 자동으로 생성한다. 이 스크립트는 훈련된 네트워크 파라미터(가중치 및 편향)를 내보내고, 네트워크 아키텍처를 정의하며, 연쇄 법칙(chain rule)을 사용하여 응력 공식을 명시적으로 유도한다. 이는 시뮬레이션 중에 외부 ML 라이브러리가 필요하지 않도록 한다.
3. 응력 평가: 생성된 루틴은 좌측 Cauchy-Green 텐서($b$)를 사용하여 변형 구배($F$)로부터 Cauchy 응력을 직접 계산한다. 이는 활성화 함수와 불변량의 도함수를 하드코딩함으로써 자동 미분을 피한다.
4. 활성화 함수 최적ization: 본 연구는 표준 SoftPlus 활성화 함수를 SQuarePlus(SQP) 함수로 대체하는 것을 조사한다. SoftPlus는 매끄럽고 볼록하지만, 로그 및 지수 계산에 의존한다. SQP는 수학적 특성(매끄러움, 볼록성, 단조성)을 유사하게 유지하면서도, Fortran에서 계산 비용이 더 저렴한 제곱근을 포함한 대수적 연산을 사용한다.
5. 벤치마킹: 구현 결과는 강체 투사체가 충돌하는 "드래곤" 형상의 명시적 충격 시뮬레이션을 통해 검증되었다. 세 가지 메쉬 해상도가 테스트되었다. PANN 결과는 고전적인 Carroll 하이퍼엘라스틱 모델과 비교되었으며, 정성적인 응력 분포와 계산 실행 시간 모두에 대해 평가되었다.

주요 기여

• 자동 통합 프레임워크: 저자들은 훈련된 PANN 모델을 RADIOSS용 준비된 Fortran 사용자 재료 서브루틴으로 변환하는 Python 스크립트가 포함된 공개 GitHub 저장소를 제공한다. 이를 통해 사용자는 최소한의 수동 노력으로 커스텀 신경망 모델을 통합할 수 있다.
• 활성화 함수 분석: SoftPlus를 SQuarePlus로 대체하는 것이 재료 루틴의 계산 비용을 크게 줄인다는 것을 입증하였다. 벤치마크 테스트 결과, 활성화 함수 평가 시간에서 약 87~88%의 감소를 보였다.
• 명시적 동역학에서의 실행 시간 효율성: PANN의 명시적 시뮬레이션 오버헤드를 정량화하였다. 얕은 네트워크(은닉층 1개, 뉴런 5개)의 경우, 클래식 Carroll 모델 대비 추가 실행 시간은 매우 적었다(SoftPlus 3.6%, SQuarePlus 1.8%). 더 깊은 네트워크에서도 오버헤드는 관리 가능한 수준이었으며, SQuarePlus 변형이 SoftPlus에 비해 추가 비용을 지속적으로 절반 수준으로 낮추었다.
• 안정성 검증: 생성된 PANN 루틴은 큰 변형과 복잡한 접촉 조건 하에서도 수치적으로 안정적인 시뮬레이션을 생성하며, 고전적인 구성 법칙과 질적으로 유사한 응력 분포를 나타냈다.

결과

• 정성적 성능: 충격 벤치마크에서 PANN 모델(SoftPlus 및 SQuarePlus 변형 모두)은 하이퍼엘라스틱 재료의 비선형 동작을 효과적으로 재현하였다. von Mises 응력 분포와 과도 변위 응답은 클래식 Carroll 모델과 유사하였으며, 수치적 불안정성은 관찰되지 않았다.
• 정량적 성능: 가장 미세한 메쉬(약 270만 요소)에서의 실행 시간 분석 결과, SQuarePlus 기반 PANN이 SoftPlus 대응 모델보다 더 효율적임이 밝혀졌다.
  • 얕은 네트워크 (1x5): SoftPlus 오버헤드는 3.6%, SQuarePlus 오버헤드는 1.8%였다.
  • 깊은 네트워크 (2x5): SoftPlus 오버헤드는 15.6%, SQuarePlus 오버헤드는 7.8%였다.
• 파라미터 효율성: PANN은 3-파라미터 Carroll 모델보다 약간 느리지만, 훨씬 더 많은 훈련 가능한 파라미터(얕은 네트워크의 경우 20개, 깊은 네트워크의 경우 50개)를 활용하여 복잡한 재료 거동을 표현하는 데 더 큰 유연성을 제공한다.

의의 및 주장
본 논문은 실행 시간 동안 특수한 솔버나 외부 의존성 없이도 머신러닝 기반 구성 모델을 기존의 명시적 유한 요소 워크플로에 통합할 수 있는 실질적인 경로를 제공한다고 주장한다. 저자들은 계산 효율성이 공학 시뮬레이션에서 데이터 기반 모델 채택의 핵심 요소임을 강조한다. SQuarePlus를 사용함으로써 정확도를 희생하지 않고 PANN 재료 루틴의 계산 오버헤드를 약 절반으로 줄일 수 있음을 입증함으로써, 저자들은 컴팩트한 PANN 아키텍처가 일상적인 공학 시뮬레이션에 적용 가능하다는 점을 논증한다. 제시된 프레임워크는 등방성 하이퍼엘라스틱성에 초점을 맞춘 것으로 범위가 제한적이지만, 저자들은 이 코드 생성 절차가 향후 이력 의존성(history-dependent) 재료 및 임플리시트(implicit) 솔버로 확장될 수 있다고 언급하였다.