Counting odd genus $2$ curves with a marked rational $3$-torsion point

기술 요약: 표식된 유리 3-비틀림 점을 갖는 홀수 종수 2 곡선의 계수

문제 정의
본 논문은 유리수체 $\mathbb{Q}$ 위에서 홀수 차수의 단항식 바이어슈트라스 모델(monic Weierstrass model)을 가지며 야코비안(Jacobian)에 표식된 유리 3-비틀림 점(marked rational 3-torsion point)을 갖는 종수 2 곡선을 계수하는 문제를 다룬다. 곡선들은 "단순 높이(naive height)" 함수에 의해 정렬된다. 구체적으로, 저자들은 곡선 $C_f: y^2 = f(x)$를 정의하는 제곱 자유(square-free) 최소 다항식 $f(x) = x^5 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$를 고려한다. 높이는 $H(f) = \max\{|a_3|^{1/4}, |a_2|^{1/6}, |a_1|^{1/8}, |a_0|^{1/10}\}$로 정의된다. 목표는 높이 경계 $X$가 무한대로 갈 때, 야코비안 $J_f$의 비영(non-zero) 유리 3-비틀림 점 $T$의 쌍 $(f, T)$의 개수에 대한 점근적 거동을 결정하는 것이다.

방법론
방법론의 핵심은 가중 제차 다항식(weighted homogeneous polynomials)을 사용하여 쌍 $(f, T)$의 집합을 매개변수화함으로써, 계수 문제를 가중 사영 공간 내 유계 영역에서의 격자점 계수 문제로 환원하는 것이다.

1. 매개변수화: 저자들은 쌍 $(f, T)$와 가중 사영 공간 $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$의 튜플 $P = (A, B, J, E)$ 사이의 전단사 대응을 확립한다. 이는 $A, B, J, E$의 가중치가 각각 4, 6, 8, 10인 네 개의 가중 제차 다항식 $\Theta_0, \Theta_1, \Theta_2, \Theta_3 \in \mathbb{Z}[A, B, J, E]$를 구성함으로써 달성된다. 이 다항식들은 다음 관계식을 통해 다항식 $f$의 계수를 정의한다:
   $$729f(x) = 729x^5 + \Theta_3(P)x^3 + \Theta_2(P)x^2 + \Theta_1(P)x + \Theta_0(P).$$
   표식된 3-비틀림 점 $T$는 $P$에 의해 결정되는 함수들에 의해 잘려진(cut out) 디바이저(divisor)로 표현된다. 이 매개변수화는 $G(x)^2 - A^2f(x) = H(x)^3$라는 조건으로부터 유도되며, 여기서 $G$와 $H$는 비틀림 점의 디바이저와 관련된 다항식이다.

2. 수의 기하학(Geometry of Numbers): 문제는 높이 조건 $H(F_P) \leq X$에 의해 정의된 컴팩트 영역 $R(X)$ 내의 정수점 $P = (A, B, J, E)$를 세는 문제로 환원된다. $R(1)$은 $\Theta_i$들이 원점 이외의 공통 영점을 갖지 않기 때문에 컴팩트함이 입증되었다.

3. 국소 조건 및 체질(Sieving):

   • 정수성 및 최소성: 저자들은 $P$가 정수 계수를 가진 $f$를 생성하고 최소(즉, 소수에 의해 축소될 수 없음)가 되기 위한 필요충분 조건을 도출한다.
   • 소수 $p \geq 5$: $f$가 비최소(non-minimal)가 될 조건은 $p|A, p^2|B, p^3|J, p^4|E$를 만족하는 특정 부분 격자에 $P$가 속하는 것과 동치임이 밝혀졌다. 이 소수들에서의 최소 점의 밀도는 $1 - p^{-10}$이다.
   • 소수 2와 3: $p=2$와 $p=3$에 대한 조건은 더 복잡하며, 국소 밀도 상수 $\beta_{2,3}$을 정의하는 유한한 congruence 조건들을 통해 처리된다.

4. 점근적 계수: 데이븐포트의 립시츠 원리(Davenport's Lipschitz principle, 수의 기하학)를 사용하여 스케일링된 영역 $R(X)$ 내의 격자점을 계수한다. 저자들은 비최소 다항식이나 퇴화된 경우(판별식이 0이 되거나 $A=0$인 경우)에 해당하는 점들을 제외하기 위해 체(sieve)를 적용한다.

주요 기여 및 결과
주된 결과는 이러한 곡선들의 수를 제공하는 정리 1.1이며, 이는 다음과 같은 정확한 점근 공식이다:
$$\#W_{mark}(X) = cX^{10} + o(X^{10})$$
여기서 $c$는 다음과 같이 주어지는 양의, 효과적으로 계산 가능한 상수이다:
$$c = \text{Vol}(R(1)) \cdot \beta_{2,3} \cdot \prod_{p \geq 5} (1 - p^{-10}).$$
여기서 $\text{Vol}(R(1))$은 높이 함수에 의해 정의된 컴팩트 영역의 부피이고, $\beta_{2,3}$은 소수 2와 3에서의 국소 밀도이다.

또한 본 논문은 표식된 유리 3-비틀림 점을 갖는 가문(family)의 종수 2 곡선들을 매개변수화하는 가중 제차 다항식 $\Theta_i$를 명시적으로 구성하는 명제 1.2를 제공한다. 이 매개변수화는 주어진 수준 구조(level structure)를 가진 곡선들의 모듈라이 공간을 $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$로 컴팩트화하는 중요한 기술적 성취이며, 이를 통해 유리 사상(rational map)을 모피즘(morphism)으로 확장하여 격자점 계수 기법을 적용할 수 있게 한다.

의의 및 주장
저자들은 본 연구가 모듈라이 다양체가 곡위(curve)가 아닌 설정(이 경우 3차원 다양체)에서, 규정된 수준 구조를 가진 곡선의 수를 결정하는 첫 번째 연구라고 주장한다.

• 이전 연구와의 비교: 엘립틱 곡선에 대한 수준 구조(예: 비틀림 점 또는 아이소제니)를 계수하는 작업은 잘 확립되어 있으나(Harron, Snowden, Boggess-Sankar 등의 연구 인용), 이를 고차 곡수로 확장하는 것은 어렵다. Chan, Loughrran, Rome의 이전 연구는 거의 모든 홀수 쌍곡선 곡선이 규정된 수준 구조를 갖지 않는 야코비안을 가짐을 보여주었으나, 그러한 곡선들에 대한 점근적 계수는 제공하지 않았다.
• 방법론적 혁신: 본 논문은 고차원 다양체에 대한 모듈라이 공간의 컴팩트화의 어려움을 강조한다. 엘립틱 곡수의 경우(모듈러 곡수가 곡위이므로 유리 사상이 자동으로 모피즘으로 확장됨)와 달리, 저자들은 바이어슈트라스 모델로의 사상이 기저점-free(base-point-free)가 되도록 하기 위해 $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$로의 "임시적인(ad-hoc)" 컴팩트화를 구축해야 했다.
• 범위: 이 결과는 표식된 유리 바이어슈트라스 점(무한대에서의 점)과 표식된 유리 3-비틀림 점을 갖는 곡수에 특화되어 있다. 저자들은 주의 5.4에서, 표식되지 않은 3-비틀림 점(특정 점 $T$를 잊는 경우)을 갖는 곡선을 계수하면, 유리 3-비틀림 부분군이 (보통 $T$와 $-T$에 의해 생성되는) 차수가 3인 경우를 제외하고(차수가 9인 부분군을 갖는 얇은 집합의 곡선들 제외) $c/2 X^{10}$을 얻게 될 것이라고 언급한다.

본 논문은 특정 계수 문제에 집중하며, 모듈라이 공간의 산술 기하학과 매개변수화의 명시적 구성을 유지하므로, 실험적 응용이나 미래의 추측을 제안하지 않는다.