Counting odd genus $2$ curves with a marked rational $3$-torsion point

Resumo Técnico: Contagem de Curvas de Gênero 2 de Gênero Ímpar com um Ponto de 3-Torção Racional Marcado

Enunciado do Problema
Este artigo aborda o problema de contar curvas de gênero 2 sobre os números racionais $\mathbb{Q}$ que admitem um modelo de Weierstrass mônico de grau ido e possuem uma jacobiana com um ponto racional de 3-torção marcado. As curvas são ordenadas por uma função de "altura ingênua" (naive height). Especificamente, os autores consideram polinômios livres de quadrados e mínimos $f(x) = x^5 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ que definem a curva $C_f: y^2 = f(x)$. A altura é definida como $H(f) = \max\{|a_3|^{1/4}, |a_2|^{1/6}, |a_1|^{1/8}, |a_0|^{1/10}\}$. O objetivo é determinar o comportamento assintótico do número de pares $(f, T)$, onde $T$ é um ponto de 3-torção racional não nulo na jacobiana $J_f$, conforme o limite da altura $X$ tende ao infinito.

Metodologia
O núcleo da metodologia envolve uma parametrização do conjunto de pares $(f, T)$ usando polinômios homogêneos ponderados, reduzindo o problema de contagem à estimativa do número de pontos de rede em um espaço projetivo ponderado limitado.

1. Parametrização: Os autores estabelecem uma bijeção entre os pares $(f, T)$ e tuplas $P = (A, B, J, E)$ em um espaço projetivo ponderado $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$. Isso é alcançado através da construção de quatro polinômios homogêneos ponderados $\Theta_0, \Theta_1, \Theta_2, \Theta_3 \in \mathbb{Z}[A, B, J, E]$ (com pesos 4, 6, 8 e 10 respectivamente). Esses polinômios definem os coeficientes do polinômio $f$ via a relação:
   $$729f(x) = 729x^5 + \Theta_3(P)x^3 + \Theta_2(P)x^2 + \Theta_1(P)x + \Theta_0(P).$$
   O ponto de 3-torção marcado $T$ é representado por um divisor cortado por funções determinadas por $P$. Esta parametrização é derivada da condição $G(x)^2 - A^2f(x) = H(x)^3$, onde $G$ e $H$ são polinômios relacionados ao divisor do ponto de torção.

2. Geometria dos Números: O problema é reduzido à contagem de pontos inteiros $P = (A, B, J, E)$ dentro de uma região compacta $R(X)$ definida pela condição de altura $H(F_P) \leq X$. A região $R(1)$ é mostrada como compacta porque os polinômios $\Theta_i$ não possuem zeros comuns além da origem.

3. Condições Locais e Crivo:

   • Integralidade e Minimalidade: Os autores derivam condições de congruência necessárias e suficientes para garantir que o polinômio $f$ resultante tenha coeficientes inteiros e seja mínimo (ou seja, não possa ser escalonado para baixo por um primo).
   • Primos $p \geq 5$: Para primos $p \geq 5$, a condição para $f$ não ser mínima é mostrada como equivalente a $P$ pertencer a uma sub-rede específica onde $p|A, p^2|B, p^3|J, p^4|E$. A densidade de pontos mínimos nesses primos é $1 - p^{-10}$.
   • Primos 2 e 3: As condições para $p=2$ e $p=3$ são mais complexas e são tratadas via um conjunto finito de condições de congruência, definindo uma constante de densidade local $\beta_{2,3}$.

4. Contagem Assintótica: Usando o princípio de Lipschitz de Davenport (geometria dos números), os autores contam os pontos de rede na região escalonada $R(X)$. Eles aplicam um crivo para excluir pontos correspondentes a polinômios não mínimos ou casos degenerados (onde o discriminante se anula ou $A=0$).

Principais Contribuições e Resultados
O resultado principal é o Teorema 1.1, que fornece uma fórmula assintótica exata para o número de tais curvas:
$$\#W_{mark}(X) = cX^{10} + o(X^{10})$$
onde $c$ é uma constante positiva, efetivamente computável, dada por:
$$c = \text{Vol}(R(1)) \cdot \beta_{2,3} \cdot \prod_{p \geq 5} (1 - p^{-10}).$$
Aqui, $\text{Vol}(R(1))$ é o volume da região compacta definida pela função de altura, e $\beta_{2,3}$ é a densidade local nos primos 2 e 3.

O artigo também fornece a Proposição 1.2, que constró o explicitamente os polinômios homogêneos ponderados $\Theta_i$ que parametrizam a família de curvas de gênero 2 com um ponto de 3-torção marcado. Esta parametrização é um feito técnico significativo, pois compactifica o espaço modular de tais curvas em um espaço projetivo ponderado $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$ de forma a estender o mapa racional a um morfismo, permitindo a aplicação de técnicas de contagem de pontos de rede.

Significância e Alegações
Os autores alegam que este trabalho é o primeiro a determinar uma fórmula assintótica exata para o número de curvas com uma estrutura de nível prescrita em um cenário onde a variedade modular não é uma curva (especificamente, um threefold neste caso).

• Comparação com Trabalhos Anteriores: Embora a contagem de curvas elípticas com estruturas de nível (ex: pontos de torção ou isogenias) seja bem estabelecida (citando trabalhos de Harron, Snowden, Boggess-Sankar, etc.), estender esses resultados para curvas de gênero superior é difícil. Trabalhos anteriores por Chan, Loughran e Rome mostraram que quase todas as curvas hiperelípticas ímpares possuem jacobianas sem uma estrutura de nível prescrita, mas não forneceram uma contagem assintótica para aquelas que a possuem.
• Inovação Metodológica: O artigo destaca a dificuldade de compactificar o espaço modular para variedades de dimensão superior. Diferente do caso da curva elíptica (onde a curva modular é uma curva e mapas racionais estendem-se a morfismos automaticamente), os autores tiveram que construir uma compactificação "ad-hoc" para $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$ para garantir que o mapa para o modelo de Weierstrass fosse livre de pontos base.
• Escopo: O resultado aplica-se especificamente a curvas com um ponto de Weierstrass marcado (em infinito) e um ponto de 3-torção racional marcado. Os autores observam na Observação 5.4 que contar curvas com um 3-torção não marcado (esquecendo o ponto específico $T$) resultaria em uma contagem de $c/2 X^{10}$, pois o subgrupo de 3-torção racional é tipicamente de ordem 3 (gerado por $T$ e $-T$), exceto para um conjunto tênue de curvas com um subgrupo de ordem 9.

O artigo não propõe aplicações experimentais ou conjecturas futuras além do problema de contagem específico, mantendo o foco na geometria aritmética do espaço modular e na construção explícita da parametrização.