Counting odd genus $2$ curves with a marked rational $3$-torsion point

Resumen Técnico: Conteo de Curvas de Género 2 con un Punto de 3-torsión Racional Marcado

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda el problema de contar curvas de género 2 sobre los números racionales $\mathbb{Q}$ que admiten un modelo de Weierstrass mónico de grado impar y poseen una jacobiana con un punto de 3-torsión racional marcado. Las curvas se ordenan mediante una función de "altura ingenua" (naive height). Específicamente, los autores consideran polinomios libres de cuadrados y mínimos $f(x) = x^5 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ que definen la curva $C_f: y^2 = f(x)$. La altura se define como $H(f) = \max\{|a_3|^{1/4}, |a_2|^{1/6}, |a_1|^{1/8}, |a_0|^{1/10}\}$. El objetivo es determinar el comportamiento asintótico del número de pares $(f, T)$, donde $T$ es un punto de 3-torsión racional no nulo en la jacobiana $J_f$, a medida que el límite de altura $X$ tiende a infinito.

Metodología
El núcleo de la metodología consiste en una parametrización del conjunto de pares $(f, T)$ utilizando polinomios homogéneos ponderados, reduciendo el problema de conteo al estimar el número de puntos de red en una región acotada de un espacio proyectivo ponderado.

1. Parametrización: Los autores establecen una biyección entre los pares $(f, T)$ y las tuplas $P = (A, B, J, E)$ en un espacio proyectivo ponderado $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$. Esto se logra construyendo cuatro polinomios homogéneos ponderados $\Theta_0, \Theta_1, \Theta_2, \Theta_3 \in \mathbb{Z}[A, B, J, E]$ (con pesos 4, 6, 8 y 10 respectivamente). Estos polinomios definen los coeficientes del polinomio $f$ mediante la relación:
   $$729f(x) = 729x^5 + \Theta_3(P)x^3 + \Theta_2(P)x^2 + \Theta_1(P)x + \Theta_0(P).$$
   El punto de 3-torsión marcado $T$ se representa mediante un divisor determinado por funciones dependientes de $P$. Esta parametrización se deriva de la condición $G(x)^2 - A^2f(x) = H(x)^3$, donde $G$ y $H$ son polinomios relacionados con el divisor del punto de torsión.

2. Geometría de Números: El problema se reduce a contar los puntos enteros $P = (A, B, J, E)$ dentro de una región compacta $R(X)$ definida por la condición de altura $H(F_P) \leq X$. Se demuestra que la región $R(1)$ es compacta porque los polinomios $\Theta_i$ no tienen ceros comunes excepto el origen.

3. Condiciones Locales y Cribado (Sieving):

   • Integralidad y Minimalidad: Los autores derivan condiciones de congruencia necesarias y suficientes para asegurar que el polinomio $f$ resultante tenga coeficientes enteros y sea mínimo (es decir, que no pueda ser escalado hacia abajo por un primo).
   • Primos $p \geq 5$: Para los primos $p \geq 5$, se muestra que la condición para que $f$ no sea mínima es equivalente a que $P$ pertenezca a una subred específica donde $p|A, p^2|B, p^3|J, p^4|E$. La densidad de puntos mínimos en estos primos es $1 - p^{-10}$.
   • Primos 2 y 3: Las condiciones para $p=2$ y $p=3$ son más complejas y se manejan mediante un conjunto finito de condiciones de congruencia, definiendo una constante de densidad local $\beta_{2,3}$.

4. Conteo Asintótico: Utilizando el principio de Lipschitz de Davenport (geometría de números), los autores cuentan los puntos de red en la región escalada $R(X)$. Aplican un cribado para excluir puntos que correspondan a polinomios no mínimos o casos degenerados (donde el discriminante se anula o $A=0$).

Contribuciones Clave y Resultados
El resultado principal es el Teorema 1.1, que proporciona una fórmula asintótica exacta para el número de tales curvas:
$$\#W_{mark}(X) = cX^{10} + o(X^{10})$$
donde $c$ es una constante positiva, efectivamente computable, dada por:
$$c = \text{Vol}(R(1)) \cdot \beta_{2,3} \cdot \prod_{p \geq 5} (1 - p^{-10}).$$
Aquí, $\text{Vol}(R(1))$ es el volumen de la región compacta definida por la función de altura, y $\beta_{2,3}$ es la densidad local en los primos 2 y 3.

El artículo también proporciona la Proposición 1.2, que construye explícitamente los polinomios homogéneos ponderados $\Theta_i$ que parametrizan la familia de curvas de género 2 con un punto de 3-torsión marcado. Esta parametrización es un logro técnico significativo, ya que compactifica el espacio de módulos de tales curvas en un espacio proyectivo ponderado $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$ de tal manera que extiende el mapa racional a un morfismo, permitiendo la aplicación de técnicas de conteo de puntos de red.

Significado y Reivindicaciones
Los autores afirman que este trabajo es el primero en determinar una fórmula asintótica exacta para el número de curvas con una estructura de nivel prescrita en un entorno donde la variedad de módulos no es una curva (específicamente, un tríplice en este caso).

• Comparación con Trabajos Previos: Si bien el conteo de curvas elípticas con estructuras de nivel (por ejemplo, puntos de torsión o isogenias) está bien establecido (citando trabajos de Harron, Snowden, Boggess-Sankar, etc.), extender estos resultados a curvas de género superior es difícil. Trabajos previos de Chan, Loughran y Rome mostraron que casi todas las curvas hiperelípticas impares tienen jacobianas sin una estructura de nivel prescrita, pero no proporcionaron un conteo asintótico para aquellas que sí la tienen.
• Innovación Metodológica: El artículo destaca la dificultad de compactificar el espacio de módulos para variedades de mayor dimensión. A diferencia del caso de las curvas elípticas (donde la curva modular es una curva y los mapas racionales se extienden automáticamente a morfismos), los autores tuvieron que construir una compactificación "ad-hoc" hacia $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$ para asegurar que el mapa al modelo de Weierstrass no tuviera puntos base.
• Alcance: El resultado se aplica específicamente a curvas con un punto de Weierstrass marcado (en el infinito) y un punto de 3-torsión racional marcado. Los autores señalan en la Observación 5.4 que contar curvas con un 3-torsión no marcado (olvidando el punto específico $T$) resultaría en un conteo de $c/2 X^{10}$, dado que el subgrupo de 3-torsión racional es típicamente de orden 3 (generado por $T$ y $-T$), excepto para un conjunto delgado de curvas con un subgrupo de orden 9.

El artículo no propone aplicaciones experimentales o conjeturas futuras más allá del problema de conteo específico, manteniendo su enfoque en la geometría aritmética del espacio de módulos y la construcción explícita de la parametrización.