Counting odd genus $2$ curves with a marked rational $3$-torsion point

技术摘要：带有标记有理 3-阶扭转点的奇亏格 2 曲线计数

问题陈述
本文研究了在有理数 $\mathbb{Q}$ 上具有奇数次数单项 Weierstrass 模型，且其雅可比簇（Jacobian）拥有一个标记的有理 3-阶扭转点（3-torsion point）的亏格 2 曲线计数问题。这些曲线按“朴素高度”（naive height）函数进行排序。具体而言，作者考虑由平方自由、极小多项式 $f(x) = x^5 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ 定义的曲线 $C_f: y^2 = f(x)$。高度定义为 $H(f) = \max\{|a_3|^{1/4}, |a_2|^{1/6}, |a_1|^{1/8}, |a_0|^{1/10}\}$。目标是确定当高度界限 $X$ 趋于无穷大时，满足条件的对 $(f, T)$ 的数量，其中 $T$ 是 $J_f$ 上的一个非零有理 3-阶扭转点。

方法论
核心方法论涉及使用加权齐次多项式对集合 $(f, T)$ 进行参数化，从而将计数问题简化为估计加权射影空间中有界区域内的格点数量。

1. 参数化： 作者通过构造四个加权齐次多项式 $\Theta_0, \Theta_1, \Theta_2, \Theta_3 \in \mathbb{Z}[A, B, J, E]$（权重分别为 4, 6, 8, 10），建立了对 $(f, T)$ 对与加权射影空间 $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$ 中元组 $P = (A, B, J, E)$ 之间的双射。这通过以下关系定义了多项式 $f$ 的系数：
   $$729f(x) = 729x^5 + \Theta_3(P)x^3 + \Theta_2(P)x^2 + \Theta_1(P)x + \Theta_0(P).$$
   标记的 3-阶扭转点 $T$ 由由 $P$ 决定的函数所划出的除子（divisor）表示。该参数化源于条件 $G(x)^2 - A^2f(x) = H(x)^3$，其中 $G$ 和 $H$ 是与扭转点除子相关的多项式。

2. 几何数论： 该问题被简化为计算位于由高度条件 $H(F_P) \leq X$ 定义的紧致区域 $R(X)$ 内的整数点 $P = (A, B, J, E)$。由于多项式 $\Theta_i$ 除了原点外没有公共零点，因此 $R(1)$ 被证明是紧致的。

3. 局部条件与筛法：

   • 整性与极小性： 作者推导出了确保生成的多项式 $f$ 具有整数系数且是极小（即不能通过素数缩放）的 $P$ 的充要同余条件。
   • 素数 $p \geq 5$： 对于素数 $p \geq 5$，对于 $f$ 为非极小情况的条件被证明等价于 $P$ 位于特定的子格中，其中满足 $p|A, p^2|B, p^3|J, p^4|E$。这些非极小点的密度为 $1 - p^{-10}$。
   • 素数 2 和 3： 对于 $p=2$ 和 $p=3$ 的情况更为复杂，是通过一组有限的同余条件来处理的，从而定义了一个局部密度常数 $\beta_{2,3}$。

4. 渐近计数： 利用 Davenport 的 Lipschitz 原理（几何数论），作者对缩放区域 $R(X)$ 中的格点进行计数。他们应用筛法来排除对应于非极小多项式或退化情况（即判别式为零或 $A=0$）的点。

主要贡献与结果
其主要结果是 定理 1.1，它给出了此类曲线数量的一个精确渐近公式：
$$\#W_{mark}(X) = cX^{10} + o(X^{10})$$
其中 $c$ 是一个正的、可有效计算的常数，由下式给出：
$$c = \text{Vol}(R(1)) \cdot \beta_{2,3} \cdot \prod_{p \geq 5} (1 - p^{-10}).$$
这里 $\text{Vol}(R(1))$ 是由高度函数定义的紧致区域的体积，$\beta_{2,3}$ 是在素数 2 和 3 处的局部密度。

论文还通过 命题 1.2 显式地构造了参数化具有标记 3-阶扭转点的亏格 2 曲线族的加权齐次多项式 $\Theta_i$。这种参数化是一个重要的技术成就，因为它将此类曲线的模空间紧致化为一个加权射影空间 $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$，从而使得向 Weierstrass 模型映射的有理映射扩展为态射，允许应用格点计数技术。

意义与主张
作者声称，这项工作是首次在模簇不是曲线（在本例中是三维簇）的情况下，确定具有给定层结构（level structure）的曲线的精确渐近公式。

• 与前人工作的比较： 虽然对具有层结构（例如扭转点或同构）的椭圆曲线进行计数已是成熟领域（引用了 Harron, Snowden, Boggess-Sankar 等人的工作），但将这些结果推广到高亏格曲线是非常困难的。Chan, Loughran, 和 Rome 的先前工作表明，几乎所有的奇超椭圆曲线其雅可比簇都不具备预设的层结构，但并未提供那些具备层结构的曲线的渐近计数。
• 方法论创新： 论文强调了紧致化高维簇的模空间之难。不同于椭圆曲线的情况（其中模曲线是曲线，且有理映射会自动扩展为态射），作者必须构造一个“特设的”（ad-hoc）紧致化到 $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$，以确保到 Weierstrass 模型的映射是无基点的（base-point-free）。
• 范围： 该结果专门适用于具有标记有理 Weierstrass 点（在无穷远点）和标记有理 3-阶扭转点的曲线。作者在注记 5.4 中指出，计数具有未标记 3-阶扭转点（即忽略特定的点 $T$）的曲线将得到 $c/2 X^{10}$ 的计数，因为有理 3-阶扭转子群通常是 3 阶的（由 $T$ 和 $-T$ 生成），除非是一组具有 9 阶子群的稀疏集合。

该论文并未提出实验性的应用或未来的猜想，而是专注于模空间的算术几何以及参数化的显式构造。