Counting odd genus $2$ curves with a marked rational $3$-torsion point

Résumé Technique : Comptage des courbes de genre 2 à genre impair avec un point de 3-torsion rationnel marqué

Énoncé du Problème
Cet article traite du problème du comptage des courbes de genre 2 sur les nombres rationnels $\mathbb{Q}$ qui admettent un modèle de Weierstrass de degré impair et possèdent une jacobienne avec un point de 3-torsion rationnel marqué. Les courbes sont ordonnées par une fonction de « hauteur naïve ». Plus précisément, les auteurs considèrent des polynômes sans facteur commun $f(x) = x^5 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ de type monique définissant la courbe $C_f: y^2 = f(x)$. La hauteur est définie par $H(f) = \max\{|a_3|^{1/4}, |a_2|^{1/6}, |a_1|^{1/8}, |a_0|^{1/10}\}$. L'objectif est de déterminer le comportement asymptotique du nombre de couples $(f, T)$, où $T$ est un point de 3-torsion rationnel non nul sur la jacobienne $J_f$, lorsque la borne de hauteur $X$ tend vers l'infini.

Méthodologie
Le cœur de la méthodologie consiste en une paramétrisation de l'ensemble des couples $(f, T)$ à l'aide de polynômes homogènes pondérés, réduisant le problème de comptage à l'estimation du nombre de points de réseau dans une région bornée d'un espace projectif pondéré.

1. Paramétrisation : Les auteurs établissent une bijection entre les couples $(f, T)$ et les tuples $P = (A, B, J, E)$ dans un espace projectif pondéré $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$. Ceci est réalisé en construisant quatre polynômes homogènes pondérés $\Theta_0, \Theta_1, \Theta_2, \Theta_3 \in \mathbb{Z}[A, B, J, E]$ (de poids respectifs 4, 6, 8 et 10). Ces polynômes définissent les coefficients du polynôme $f$ via la relation :
   $$729f(x) = 729x^5 + \Theta_3(P)x^3 + \Theta_2(P)x^2 + \Theta_1(P)x + \Theta_0(P).$$
   Le point de 3-torsion marqué $T$ est représenté par un diviseur défini par des fonctions déterminées par $P$. Cette paramétrisation est dérivée de la condition $G(x)^2 - A^2f(x) = H(x)^3$, où $G$ et $H$ sont des polynômes liés au diviseur du point de torsion.

2. Géométrie des Nombres : Le problème est réduit au comptage des points entiers $P = (A, B, J, E)$ à l'intérieur d'une région compacte $R(X)$ définie par la condition de hauteur $H(F_P) \leq X$. La région $R(1)$ est montrée comme étant compacte car les polynômes $\Theta_i$ n'ont pas de zéros communs autres que l'origine.

3. Conditions Locales et Crible :

   • Intégrité et Minimalité : Les auteurs dérivent des conditions de congruence nécessaires et suffisantes sur $P$ pour garantir que le polynôme $f$ résultant possède des coefficients entiers et soit minimal (c'est-à-dire qu'il ne puisse pas être réduit par une division par un nombre premier).
   • Primes $p \geq 5$ : Pour les nombres premiers $p \geq 5$, la condition pour que $f$ ne soit pas minimal est montrée comme étant équivalente au fait que $P$ appartienne à un sous-réseau spécifique où $p|A, p^2|B, p^3|J, p^4|E$. La densité des points minimaux à ces nombres premiers est $1 - p^{-10}$.
   • Primes 2 et 3 : Les conditions pour $p=2$ et $p=3$ sont plus complexes et sont traitées via un ensemble fini de conditions de congruence, définissant une constante de densité locale $\beta_{2,3}$.

4. Comptage Asymptotique : En utilisant le principe de Lipschitz de Davenport (géométrie des nombres), les auteurs comptent les points de réseau dans la région scalée $R(X)$. Ils appliquent un crible pour exclure les points correspondant à des polynômes non minimaux ou à des cas dégénérés (où le discriminant s'annule ou $A=0$).

Contributions Principales et Résultats
Le résultat principal est le Théorème 1.1, qui fournit une formule asymptotique exacte pour le nombre de telles courbes :
$$\#W_{mark}(X) = cX^{10} + o(X^{10})$$
où $c$ est une constante positive, effectivement calculable, donnée par :
$$c = \text{Vol}(R(1)) \cdot \beta_{2,3} \cdot \prod_{p \geq 5} (1 - p^{-10}).$$
Ici, $\text{Vol}(R(1))$ est le volume de la région compacte définie par la fonction de hauteur, et $\beta_{2,3}$ est la densité locale aux nombres premiers 2 et 3.

L'article fournit également la Proposition 1.2, qui construit explicitement les polynômes homogènes pondérés $\Theta_i$ qui paramètrent la famille des courbes de genre 2 avec un point de 3-torsion marqué. Cette paramétrisation est une réussite technique significative, car elle compactifie l'espace des modules de ces courbes dans un espace projectif pondéré $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$ de manière à étendre la application rationnelle en un morphisme, permettant ainsi l'application des techniques de comptage de points de réseau.

Signification et Revendications
Les auteurs affirment que ce travail est le premier à déterminer une formule asymptotique exacte pour le nombre de courbes avec une structure de niveau prescrite dans un contexte où la variété des modules n'est pas une courbe (spécifiquement, un trois-feuille dans ce cas).

• Comparaison avec les Travaux Précédents : Bien que le comptage des courbes elliptiques avec des structures de niveau (par exemple, des points de torsion ou des isogénies) soit bien établi (citant les travaux de Harron, Snowden, Boggess-Sankar, etc.), l'extension de ces résultats aux courbes de genre supérieur est difficile. Les travaux précédents de Chan, Loughran et Rome ont montré que presque toutes les courbes hyperelliptiques impaires ont des jacobiennes sans structure de niveau prescrite, mais n'ont pas fourni de comptage asymptotique pour celles qui en possèdent une.
• Innovation Méthodologique : L'article souligne la difficulté de compacter l'espace des modules pour des variétés de dimension supérieure. Contrairement au cas des courbes elliptiques (où la courbe modulaire est une courbe et les applications rationnelles s'étendent automatiquement en morphismes), les auteurs ont dû construire une compactification « ad-hoc » vers $\mathbb{P}(1, 2, 3, 4)$ pour s'assurer que la carte vers le modèle de Weierstrass soit sans point de base.
• Portée : Le résultat s'applique spécifiquement aux courbes avec un point de Weierstrass marqué (à l'infini) et un point de 3-torsion rationnel marqué. Les auteurs notent dans la Remarque 5.4 que compter les courbes avec un 3-torsion rationnel non marqué (en oubliant le point spécifique $T$) donnerait un comptage de $c/2 X^{10}$, car le sous-groupe de 3-torsion rationnel est typiquement d'ordre 3 (généré par $T$ et $-T$), sauf pour un ensemble mince de courbes possédant un sous-groupe d'ordre 9.

L'article ne propose pas d'applications expérimentales ou de conjectures futures au-delà du problème de comptage spécifique, maintenant son focus sur la géométrie arithmétique de l'espace des modules et la construction explicite de la paramétrisation.