Adaptive Search in Collatz Exponent-Code Space via 2-adic and 3-adic Constraints

기술 요약: 2-adic 및 3-adic 제약을 통한 콜라츠 지수-코드 공간에서의 적응형 탐색

문제 정의
본 논문은 임의의 양의 정수 $n$의 궤적이 $T(n) = n/2$ (짝수일 때) 또는 $T(n) = 3n+1$ (홀수일 때) 사상에 의해 결국 1에 도달한다는 콜라츠 추측을 다룬다. 저자들은 단순히 큰 범위의 시작 정수를 테스트하는 대신, 가속된 콜라츠 사상의 **유한 지수 코드(finite exponent codes)**로 정의된 기호적 탐색 공간을 조사한다.

가속된 홀수 사상은 $C(n) = (3n+1)/2^{v_2(3n+1)}$로 정의된다 (여기서 $v_2(m)$은 $m$을 나누는 가장 높은 2의 거듭제곱의 지수이다). 궤적 $x_{k+1} = C(x_k)$는 지수 시퀀스 $a_{k+1} = v_2(3x_k + 1)$를 생성한다. 시퀀스 $(a_1, \dots, a_k)$는 지수 코드를 구성한다. 핵심 문제는 특정 호환성 조건을 실수, 2-adic, 3-adic 영역 전반에서 만족함으로써, 반례와 유사한 행동을 모사하는 "반례형" 코드가 존재하는지 여부를 결정하는 것이다.

방법론: 2–3–∞ 진단
저자들은 2–3–∞ 진단이라 명명된 세 가지 지표를 통해 유한 지수 코드를 평가하는 기호적 진단 프레임워크를 제안한다.

1. 실수 표류 (Real Drift, $d_k$): 평균 지수가 임계값 $\alpha = \log_2 3$으로부터 벗어나는 정도를 측정한다. 코드가 임계 상태(critical)라는 것은 $A_k/k \approx \alpha$ (여기서 $A_k = \sum a_i$)를 만족하여, 곱셈 인자 $3^k/2^{A_k}$가 1에 가깝게 유지됨을 의미한다.
   $$d_k = |A_k/k - \alpha|$$
2. 2-adic 시작 대표값 ($\rho_r$): 코드를 실현하기 위해 요구되는 강제된 시작 잔여값(residue) $r_k \pmod{2^{A_k}}$를 결정한다. 고정된 정수 $n$에 의해 생성된 실제 궤적의 경우, $r_k$는 결국 $n$과 같아져야 한다. 진단은 이 잔여값의 성장률을 측정한다:
   $$\rho_r(k) = \frac{\log(1 + r_k)}{k}$$
3. 3-adic 종료 대표값 ($\rho_M$): 강제된 종료 잔여값 $M_k \pmod{3^k}$를 결정한다. 실제 궤적의 경우, 종료점은 실수 성장 경계 $x_k + 1 \leq (n+1)(3/2)^k$를 만족해야 한다. 진단은 이 경계와의 불합치성을 측정한다:
   $$\rho_M(k) = \frac{\log(1 + M_k/(3/2)^k)}{k}$$

이론적 기여
본 논문은 고정된 양의 정수 $n$에 의해 생성되는 모든 무한 지수 코드에 대한 필요 조건을 확립하는 **정리 1(Theorem 1)**을 증명한다: 즉, 잔여율(residue rates)은 점근적으로 소멸해야 한다.
$$\lim_{k \to \infty} \rho_r(k) = 0 \quad \text{및} \quad \lim_{k \to \infty} \rho_M(k) = 0$$
결과적으로, **따름정리 2(Corollary 2)**는 만약 어떤 무한 코드가 $\liminf \rho_r(k) > 0$ 또는 $\liminf \rho_M(k) > 0$를 보인다면, 그것은 어떤 고정된 양의 정수에 의해서도 생성될 수 없음을 명시한다. 이는 유효한 반례 코드가 반드시 근-임계(near-critical) 실수 표류와 소멸하는 2-adic 및 3-adic 잔여율을 동시에 달성해야 함을 의미한다.

실험적 접근
저자들은 고정된 평가 예산($N_{eval} = 1000k$) 하에서 $k \in \{100, 200, 400\}$인 유한 코드 길이에 대해 세 가지 전략을 비교한다:

1. 무작위 임계 코드 (Random Critical Codes): 기대 평균이 $\log_2 3$이 되도록 조정된 확률을 사용하여 $a_i \in \{1, 2\}$를 샘플링한다.
2. 기계적 임계 코드 (Mechanical Critical Codes): 지수를 균등하게 분포시키기 위해 $i(\log_2 3 - 1) + \theta$의 소수 부분(fractional part)에 기반한 결정론적 구성을 사용한다.
3. 적응형 진화 탐색 (Adaptive Evolutionary Search): 코드를 게놈으로 사용하는 진화 전략이다. 적합도 함수는 복합 점수 $S = d_k + \rho_r(k) + \rho_M(k)$를 최소화한다. 탐색에는 선택, 교차, 변이, 표류 복구(임계 평균 유지를 위함), 그리고 기계적 블록 주입이 사용된다.

결과
실험 결과, 적응형 탐색이 베이스라인보다 유한 길이의 트레이드오프를 개선하기는 하지만, 필요한 점근적 영역에 도달하는 데는 실패함을 보여준다:

• 잔여율: 모든 방법과 길이에 걸쳐, $\rho_r$은 $[0.95, 1.08]$ 범위에 있고 $\rho_M$은 $[0.54, 0.68]$ 범위에 머문다.
• 추세: 잔여율은 $k$가 증가함에 따라 0을 향해 가는 추세를 보이지 않는다. $k=400$일 때, 적응형 탐색은 $1.73838$의 점수를 기록했는데, 이는 무작위 임계 샘플링($1.73653$)보다 약간 나은 수준이며, 표류 측면에서는 기계적 코드보다 좋지 않다(단, 기계적 코드는 더 높은 잔여율을 보인다).
• 실험 결론: "진단적 장애(diagnostic obstruction)"가 지속된다. 즉, 어떤 방법도 근-임계 실수 표류와 소멸하는 2-adic 및 3-adic 잔여율을 동시에 만족하는 코드를 성공적으로 구축하지 못했다.

의의 및 주장
본 논문은 자신의 기여가 콜라츠 추측의 검증 방법이 아님을 명시적으로 밝힌다. 대신, 지수-코드 공간 내의 장애 구조를 조사하기 위한 기호적 진단 프레임워크를 제공한다.

그 의의는 반례와 유사한 코드를 구축하는 것이 단순히 임계 실수 표류를 달성하는 문제(이는 쉽게 수행 가능함)가 아니라, 엄격한 2-adic 및 3-adic 호환 조건을 동시에 만족시켜야 하는 문제임을 입증하는 데 있다. 무작위, 기계적, 적응형 탐색 전략 모두에서 양의 잔여율이 지속되는 현상은 콜라츠 사상의 구조적 제약이 이러한 조건들을 동시에 실현하는 것을 어렵게, 혹은 불가능하게 만든다는 것을 시사한다. 저자들은 향-후 연구가 더 큰 코드 길이를 조사하고 이 잔여율들에 대한 증명 가능한 하한선을 설정하는 데 집중되어야 한다고 결론짓는다.