Adaptive Search in Collatz Exponent-Code Space via 2-adic and 3-adic Constraints

Technische Samenvatting: Adaptieve Zoektocht in de Collatz-exponent-coderuimte via 2-adische en 3-adische Randvoorwaarden

Probleemstelling
Het artikel behandelt de Collatz-conjectuur, die stelt dat de trajectorie van elk positief geheel getal $n$ onder de afbeelding $T(n) = n/2$ (als $n$ even is) of $T(n) = 3n+1$ (als $n$ oneven is) uiteindelijk 1 bereikt. In plaats van grote bereiken van startgetallen te testen, onderzoeken de auteurs een symbolische zoekruimte gedefinieerd door eindige exponentcodes van de versnelde Collatz-afbeelding.

De versnelde afbeelding op oneven gehele getallen wordt gedefinieerd als $C(n) = (3n+1)/2^{v_2(3n+1)}$, waarbij $v_2(m)$ de exponent is van de hoogste macht van 2 die $m$ deelt. Een trajectorie $x_{k+1} = C(x_k)$ genereert een sequentie van exponenten $a_{k+1} = v_2(3x_k + 1)$. De sequentie $(a_1, \dots, a_k)$ vormt een exponentcode. Het centrale probleem is om te bepalen of er een "tegenvoorbeeld-achtige" code bestaat—één die het gedrag van een divergerende of niet-convergerende baan nabootst—door specifieke compatibiliteitsvoorwaarden te vervullen over de reële, 2-adische en 3-adische domeinen.

Methodologie: De 2–3–∞ Diagnostiek
De auteurs stellen een symbolisch diagnostisch kader voor dat eindige exponentcodes evalueert op basis van drie metrieken, gezamenlijk de 2–3–∞ diagnostiek genoemd:

1. Reële Drift ($d_k$): Meet de afwijking van de gemiddelde exponent van de kritieke drempelwaarde $\alpha = \log_2 3$. De code is kritiek als $A_k/k \approx \alpha$ (waarbij $A_k = \sum a_i$), wat ervoor zorgt dat de multiplicatieve factor $3^k/2^{A_k}$ nabij één blijft.
   $$d_k = |A_k/k - \alpha|$$
2. 2-adische Start-representatief ($\rho_r$): Bepaalt de gedwongen startresidue $r_k$ modulo $2^{A_k}$ die nodig is om de code te realiseren. Voor een authentieke trajectorie gegenereerd door een vast geheel getal $n$, moet $r_k$ uiteindelijk gelijk zijn aan $n$. De diagnostiek meet de groeisnelheid van deze residu:
   $$\rho_r(k) = \frac{\log(1 + r_k)}{k}$$
3. 3-adische Eindpunt-representatief ($\rho_M$): Bepaalt de gedwongen eindpuntresidue $M_k$ modulo $3^k$. Voor een authentieke trajectorie moet het eindpunt voldoen aan de reële groeibeperking $x_k + 1 \leq (n+1)(3/2)^k$. De diagnostiek meet de incompatibiliteit met deze beperking:
   $$\rho_M(k) = \frac{\log(1 + M_k/(3/2)^k)}{k}$$

Theoretische Bijdrage
De auteurs bewijzen Stelling 1, die een noodzakelijke voorwaarde vaststelt voor elke oneindige exponentcode gegenereerd door een vast positief geheel getal $n$: de residusnelheden moeten asymptotisch verdwijnen.
$$\lim_{k \to \infty} \rho_r(k) = 0 \quad \text{en} \quad \lim_{k \to \infty} \rho_M(k) = 0$$
Bijgevolg stelt Corollary 2 dat als een oneindige code $\liminf \rho_r(k) > 0$ of $\liminf \rho_M(k) > 0$ vertoont, deze niet gegenereerd kan worden door enig vast positief geheel getal. Dit impliceert dat een geldige tegenvoorbeeld-code tegelijkertijd een bijna-kritieke reële drift moet bereiken terwijl de 2-adische en 3-adische residusnelheden verdwijnen.

Experimentele Aanpak
De auteurs vergelijken drie strategieën voor het genereren van eindige codes van lengtes $k \in \{100, 200, 400\}$ met een vast evaluatiebudget ($N_{eval} = 1000k$):

1. Random Kritieke Codes: Sampleert $a_i \in \{1, 2\}$ met kansen die zijn afgestemd om een verwacht gemiddelde van $\log_2 3$ te verkrijgen.
2. Mechanische Kritieke Codes: Gebruikt een deterministische constructie gebaseerd op het breukdeel van $i(\log_2 3 - 1) + \theta$ om exponenten gelijkmatig te verdelen.
3. Adaptieve Evolutionaire Zoektocht: Een evolutionaire strategie waarbij codes als genomen fungeren. De fitnessfunctie minimaliseert een samengestelde score $S = d_k + \rho_r(k) + \rho_M(k)$. De zoektocht maakt gebruik van selectie, crossover, mutatie, drift-reparatie (om kritieke gemiddelden te behouden) en mechanische-blokinjectie.

Resultaten
Experimenten geven aan dat hoewel adaptieve zoektocht de trade-offs voor eindige lengtes verbetert ten opzichte van de baselines, het er niet in slaagt het noodzakelijke asymptotische regime te benaderen:

• Residusnelheden: Over alle methoden en lengtes heen, blijft $\rho_r$ in de range $[0.95, 1.08]$ en $\rho_M$ in $[0.54, 0.68]$.
• Trend: De snelheden neigen niet naar nul naarmate $k$ toeneemt. Bij $k=400$ levert de adaptieve zoektocht een score van $1.73838$, wat slechts marginaal beter is dan random kritieke sampling ($1.73653$) en slechter dan mechanische codes wat betreft drift, hoewel mechanische codes hogere residusnelheden vertonen.
• Conclusie van Experimenten: De "diagnostische obstructie" houdt aan; geen enkele methode slaagt erin om codes te construeren die simultaan voldoen aan de vereisten van bijna-kritieke drift en verdwijnende 2-adische en 3-adische residuen.

Betekenis en Claims
Het artikel stelt expliciet dat de bijdrage niet een verificatiemethode voor de Collatz-conjectuur is. In plaats daarvan biedt het een symbolisch diagnostisch kader om de obstructiestructuren binnen de exponent-coderuimte te onderzoeken.

De betekenis ligt in het aantonen dat het construeren van een tegenvoorbeeld-achtige code niet enkel een kwestie is van het bereiken van kritieke reële drift (wat eenvoudig kan worden gedaan), maar van het gelijktijdig vervullen van strikte 2-adische en 3-adische compatibiliteitsvoorwaarden. Het voortbestaan van positieve residusnelheden over random, mechanische en adaptieve zoekstrategieën heen suggereert dat de structurele beperkingen van de Collatz-afbeelding het gelijktijdig realiseren van deze voorwaarden moeilijk, zo niet onmogelijk, maken voor vaste startwaarden. De auteurs concluderen dat toekomstig werk zich moet richten op het onderzoeken van grotere code-lengtes en het vaststellen van bewijsbare ondergrenzen voor deze residusnelheden.