Adaptive Search in Collatz Exponent-Code Space via 2-adic and 3-adic Constraints

तकनीकी सारांश: 2-एडिक और 3-एडिक बाधाओं के माध्यम से कोलात्ज़ घातांक-कोड स्पेस में अनुकूली खोज (Adaptive Search)

समस्या विवरण
यह शोध पत्र कोलात्ज़ अनुमान (Collatz conjecture) को संबोधित करता है, जो यह प्रतिपादित करता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ का प्रक्षेपवक्र (trajectory) $T(n) = n/2$ (यदि सम हो) या $T(n) = 3n+1$ (यदि विषम हो) के मानचित्र के तहत अंततः 1 तक पहुँच जाता है। बड़े रेंज के शुरुआती पूर्णांकों का परीक्षण करने के बजाय, लेखक त्वरित कोलात्ज़ मानचित्र (accelerated Collatz map) के परिमित घातांक कोड्स (finite exponent codes) द्वारा परिभाषित एक प्रतीकात्मक खोज स्थान (symbolic search space) की जांच करते हैं।

विषम पूर्णांकों पर त्वरित मानचित्र को $C(n) = (3n+1)/2^{v_2(3n+1)}$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $v_2(m)$, $m$ को विभाजित करने वाली 2 की उच्चतम घात का घातांक है। एक प्रक्षेपवक्र $x_{k+1} = C(x_k)$ घातांकों का एक अनुक्रम $a_{k+1} = v_2(3x_k + 1)$ उत्पन्न करता है। अनुक्रम $(a_1, \dots, a_k)$ एक घातांक कोड (exponent code) बनाता है। केंद्रीय समस्या यह निर्धारित करना है कि क्या कोई "प्रति-उदाहरण जैसा" (counterexample-like) कोड मौजूद है—जो वास्तविक (real), 2-एडिक और 3-एडिक डोमेन में विशिष्ट संगतता शर्तों को संतुष्ट करके एक विचलनकारी या गैर-अभिसारी कक्षा (divergent or non-convergent orbit) के व्यवहार की नकल कर सके।

कार्यप्रणाली: 2–3–∞ डायग्नोस्टिक
लेखक एक प्रतीकात्मक डायग्नोस्टिक ढांचा प्रस्तावित करते हैं जो तीन मेट्रिक्स के आधार पर परिमित घातांक कोड्स का मूल्यांकन करता है, जिन्हें सामूहिक रूप से 2–3–∞ डायग्नोस्टिक कहा जाता है:

1. वास्तविक विचलन (Real Drift - $d_k$): यह महत्वपूर्ण थ्रेशोल्ड $\alpha = \log_2 3$ से औसत घातांक के विचलन को मापता है। यदि $A_k/k \approx \alpha$ है (जहाँ $A_k = \sum a_i$), तो कोड 'क्रिटिकल' है, जो यह सुनिश्चित करता है कि गुणक कारक $3^k/2^{A_k}$ इकाई के करीब रहे।
   $$d_k = |A_k/k - \alpha|$$
2. 2-एडिक प्रारंभ प्रतिनिधि (2-adic Start Representative - $\rho_r$): यह कोड को साकार करने के लिए आवश्यक मजबूर प्रारंभिक अवशेष (forced starting residue) $r_k \pmod{2^{A_k}}$ को निर्धारित करता है। एक वास्तविक कक्षा के लिए, जो एक निश्चित पूर्णांक $n$ द्वारा उत्पन्न होती है, $r_k$ को अंततः $n$ के बराबर होना चाहिए। डायग्नोस्टिक इस अवशेष की वृद्धि दर को मापता है:
   $$\rho_r(k) = \frac{\log(1 + r_k)}{k}$$
3. 3-एडिक समापन प्रतिनिधि (3-adic Endpoint Representative - $\rho_M$): यह मजबूर समापन अवशेष $M_k \pmod{3^k}$ को निर्धारित करता है। एक वास्तविक कक्षा के लिए, समापन को वास्तविक विकास सीमा $x_k + 1 \leq (n+1)(3/2)^k$ को संतुष्ट करना चाहिए। डायग्नोस्टिक इस सीमा के साथ असंगतता को मापता है:
   $$\rho_M(k) = \frac{\log(1 + M_k/(3/2)^k)}{k}$$

सैद्धांतिक योगदान
लेखक प्रमेय 1 (Theorem 1) को सिद्ध करते हैं, जो किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक $n$ द्वारा उत्पन्न होने वाले किसी भी अनंत घातांक कोड के लिए एक आवश्यक शर्त स्थापित करता है: अवशेष दरें (residue rates) स्पर्शोन्मुख रूप से शून्य होनी चाहिए।
$$\lim_{k \to \infty} \rho_r(k) = 0 \quad \text{और} \quad \lim_{k \to \infty} \rho_M(k) = 0$$
परिणामस्वरूप, उपप्रमेय 2 (Corollary 2) बताता है कि यदि कोई अनंत कोड $\liminf \rho_r(k) > 0$ या $\liminf \rho_M(k) > 0$ प्रदर्शित करता है, तो वह किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक द्वारा उत्पन्न नहीं किया जा सकता है। इसका तात्पर्य यह है कि एक वैध प्रति-उदाहरण कोड को वास्तविक रूप से क्रिटिकल ड्रिफ्ट के करीब रहने के साथ-साथ 2-एडिक और 3-एडिक अवशेष दरों को शून्य बनाए रखने की क्षमता रखनी होगी।

प्रायोगिक दृष्टिकोण
लेखक एक निश्चित मूल्यांकन बजट ($N_{eval} = 1000k$) के साथ $k \in \{100, 200, 400\}$ की लंबाई वाले परिमित कोड्स के लिए तीन रणनीतियों की तुलना करते हैं:

1. यादृच्छिक क्रिटिकल कोड्स (Random Critical Codes): $a_i \in \{1, 2\}$ का नमूना लेना, जिसकी संभावनाएँ अपेक्षित औसत $\log_2 3$ प्राप्त करने के लिए ट्यून की गई हैं।
2. मैकेनिकल क्रिटिकल कोड्स (Mechanical Critical Codes): घातांकों को समान रूप से वितरित करने के लिए $i(\log_2 3 - 1) + \theta$ के भिन्नात्मक भाग (fractional part) पर आधारित एक नियतात्मक निर्माण का उपयोग करना।
3. अनुकूली विकासवादी खोज (Adaptive Evolutionary Search): एक विकासवादी रणनीति जहाँ कोड 'जीनोम' के रूप में कार्य करते हैं। फिटनेस फंक्शन $S = d_k + \rho_r(k) + \rho_M(k)$ के संयुक्त स्कोर को कम करता है। खोज चयन (selection), क्रॉसओवर, उत्परिवर्तन (mutation), ड्रिफ्ट रिपेयर (क्रिटिकल औसत बनाए रखने के लिए), और मैकेनिकल-ब्लॉक इंजेक्शन का उपयोग करती है।

परिणाम
प्रयोगों से संकेत मिलता है कि जबकि अनुकूली खोज (adaptive search) बेसलाइन की तुलना में परिमित-लंबाई के ट्रेड-ऑफ में सुधार करती है, यह आवश्यक स्पर्शोन्मुख शासन (asymptotic regime) तक पहुँचने में विफल रहती है:

• अवशेष दरें (Residue Rates): सभी विधियों और लंबाइयों में, $\rho_r$ का मान $[0.95, 1.08]$ के बीच और $\rho_M$ का मान $[0.54, 0.68]$ के बीच रहता है।
• रुझान (Trend): दरें $k$ के बढ़ने के साथ शून्य की ओर नहीं बढ़ती हैं। $k=400$ पर, अनुकूली खोज एक स्कोर $1.73838$देती है, जो यादृच्छिक क्रिटिकल सैंपलिंग ($1.73653$) से केवल मामूली रूप से बेहतर है और ड्रिफ्ट के मामले में मैकेनिकल कोड्स से भी खराब है, हालांकि मैकेनिकल कोड्स उच्च अवशेष दर प्रदर्शित करते हैं।
• प्रयोगों का निष्कर्ष: "डायग्नोस्टिक अवरोध" (diagnostic obstruction) बना हुआ है; कोई भी विधि सफलतापूर्वक ऐसे कोड्स का निर्माण नहीं कर पाती जो क्रिटिकल रियल ड्रिफ्ट और शून्य 2-एडिक एवं 3-एडिक अवशेषों की शर्तों को एक साथ संतुष्ट करती हो।

महत्व और दावे
शोध पत्र स्पष्ट रूप से कहता है कि इसका योगदान कोलात्ज़ अनुमान का सत्यापन (verification) तरीका नहीं है। इसके बजाय, यह घातांक-कोड स्पेस के भीतर अवरोध संरचनाओं (obstruction structures) की जांच करने के लिए एक प्रतीकात्मक डायग्नोस्टिक ढांचे (symbolic diagnostic framework) की पेशकश करता है।

इसका महत्व इस बात में निहित है कि एक प्रति-उदाहरण जैसे कोड का निर्माण करना केवल क्रिटिकल रियल ड्रिफ्ट प्राप्त करने का मामला नहीं है (जो आसानी से किया जा सकता है), बल्कि 2-एडिक और 3-एडिक संगतता शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने का मामला है। यादृच्छिक, मैकेनिकल और अनुकूली खोज रणनीतियों में सकारात्मक अवशेष दरों का बने रहना यह सुझाव देता है कि कोलात्ज़ मानचित्र की संरचनात्मक बाधाएं इन शर्तों को एक साथ साकार करना कठिन, यदि असंभव नहीं, बनाती हैं। लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि भविष्य के कार्यों को बड़े कोड की लंबाई की जांच करने और इन अवशेष दरों के लिए प्रमाणित निचली सीमाओं (lower bounds) को स्थापित करने पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए।