Adaptive Search in Collatz Exponent-Code Space via 2-adic and 3-adic Constraints

技術要約：2進および3進制約を通じたコラッツ指数コード空間における適応的探索

問題提起
本論文は、任意の正の整数 $n$ の軌道が $T(n) = n/2$（偶数の場合）または $T(n) = 3n+1$（奇数の場合）という写像の下で最終的に1に到達するというコラッツ予想を取り扱う。著者らは、膨大な範囲の開始整数をテストするのではなく、加速されたコラッツ写像の有限指数コードによって定義される記号的な探索空間を調査している。

加速された奇数上の写像は、$C(n) = (3n+1)/2^{v_2(3n+1)}$ と定義される（ここで $v_2(m)$ は $m$ を割り切る最大の2のべき乗の指数である）。軌道 $x_{k+1} = C(x_k)$ は、一連の指数 $a_{k+1} = v_2(3x_k + 1)$ を生成する。この数列 $(a_1, \dots, a_k)$ が指数コードを構成する。中心となる問題は、実数、2進、および3進の各領域における特定の適合条件を満たすことにより、「反例のような」コード（発散または非収束の軌道を模倣するもの）が存在するかどうかを判定することである。

手法：2–3–∞ 診断
著者らは、有限指数コードを3つの指標に基づいて評価する記号的診断フレームワークを提案しており、これらは総称して2–3–∞ 診断と呼ばれる。

1. 実数ドリフト ($d_k$): 平均指数が臨界閾値 $\alpha = \log_2 3$ からどの程度逸脱しているかを測定する。コードが臨界的であるとは、$A_k/k \approx \alpha$（ここで $A_k = \sum a_i$）を満たし、乗法的因子 $3^k/2^{A_k}$ が1の近傍に留まることを意味する。
   $$d_k = |A_k/k - \alpha|$$
2. 2進開始代表元 ($\rho_r$): コードを実現するために強制される、法 $2^{A_k}$ における強制開始剰余 $r_k$ を決定する。固定された整数 $n$ によって生成される真正な軌道の場合、$r_k$ は最終的に $n$ と一致しなければならない。診断では、この剰余の成長率を測定する：
   $$\rho_r(k) = \frac{\log(1 + r_k)}{k}$$
3. 3進終端代表元 ($\rho_M$): 法 $3^k$ における強制終端剰余 $M_k$ を決定する。真正な軌道の場合、終端は実数成長境界 $x_k + 1 \leq (n+1)(3/2)^k$ を満たさなければならない。診断では、この境界との不適合性を測定する：
   $$\rho_M(k) = \frac{\log(1 + M_k/(3/2)^k)}{k}$$

理論的貢献
本論文は、固定された正の整数 $n$ によって生成されるあらゆる無限指数コードの必要条件として、剰余率が漸近的に消失することを証明する定理1を確立している。
$$\lim_{k \to \infty} \rho_r(k) = 0 \quad \text{および} \quad \lim_{k \to \infty} \rho_M(k) = 0$$
したがって、系2は、もし無限コードが $\liminf \rho_r(k) > 0$ または $\liminf \rho_M(k) > 0$ を示すならば、それは固定された正の整数によって生成されることはできないと述べている。これは、有効な反例コードは、臨界的な実数ドリフトを達成しつつ、同時に消失する2進および3進の剰余率を維持しなければならないことを意味する。

実験的アプローチ
著者らは、固定された評価予算 ($N_{eval} = 1000k$) のもとで、コード長 $k \in \{100, 200, 400\}$ の有限コードを生成するための3つの戦略を比較している。

1. ランダム臨界コード: 期待平均が $\log_2 3$ になるように調整された確率を用いて $a_i \in \{1, 2\}$ をサンプリングする。
2. 機械的臨界コード: 指数を均等に分布させるために、$i(\log_2 3 - 1) + \theta$ の分数部分に基づいた決定論的な構成を用いる。
3. 適応的進化探索: コードをゲノムとする進化戦略。適応度関数は、複合スコア $S = d_k + \rho_r(k) + \rho_M(k)$ を最小化する。この探索には、選択、交叉、突然変異、ドリフト修復（臨界的な平均を維持するため）、および機械的ブロック注入が含まれる。

結果
実験の結果、適応的探索はベースラインと比較して有限長でのトレードオフを改善するものの、必要な漸近的領域には到達できないことが示された。

• 剰余率: すべての手法と長さにおいて、$\rho_r$ は $[0.95, 1.08]$ の範囲にあり、$\rho_M$ は $[0.54, 0.68]$ の範囲にある。
• 傾向: 剰余率は $k$ の増加に伴ってゼロに向かう傾向は見られない。$k=400$ において、適応的探索はスコア $1.73838$を示した。これはランダム臨界サンプリングの$1.73653$ よりもわずかに悪く、ドリフトの観点では機械的コードよりも劣るが、機械的コードはより高い剰余率を示している。
• 実験の結論: 「診断による障害」は解消されていない。すなわち、臨界的な実数ドリフトと消失する2進および3進の剰余率を同時に満たすコードを構築することに成功した手法は存在しない。

意義と主張
本論文は、その貢献がコラッツ予想の検証方法ではないことを明示している。代わりに、指数コード空間内の障害構造を調査するための記号的診断フレームワークを提供するものである。

その意義は、反例のようなコードを構築することは、単に臨界的な実数ドリフトを達成すること（これは容易に可能である）ではなく、2進および3進の適合条件を同時に満たすことの難しさを示す点にある。ランダム、機械的、および適応的探索戦略のすべてにおいて正の剰余率が持続していることは、コラッツ写像の構造的制約により、固定された開始値に対してこれらの条件を同時に実現することが困難、あるいは不可能であることを示唆している。著者らは、今後の研究はより大きなコード長を調査し、これらの剰余率に対する証明可能な下限を確立することに焦点を当てるべきであると結論づけている。