Adaptive Search in Collatz Exponent-Code Space via 2-adic and 3-adic Constraints

Resumo Técnico: Busca Adaptativa no Espaço de Códigos de Expoentes de Collatz via Restrições 2-ádicas e 3-ádicas

Enunciado do Problea
O artigo aborda a conjectura de Collatz, que postula que a trajetória de qualquer inteiro positivo $n$ sob o mapa $T(n) = n/2$ (se par) ou $T(n) = 3n+1$ (se ímpar) eventualmente alcança 1. Em vez de testar grandes intervalos de inteiros iniciais, os autores investigam um espaço de busca simbólica definido por códigos de expoentes finitos do mapa acelerado de Collatz.

O mapa acelerado em inteiros ímpares é definido como $C(n) = (3n+1)/2^{v_2(3n+1)}$, onde $v_2(m)$ é o expoente da maior potência de 2 que divide $m$. Uma trajetória $x_{k+1} = C(x_k)$ gera uma sequência de expoentes $a_{k+1} = v_2(3x_k + 1)$. A sequência $(a_1, \dots, a_k)$ constitui um código de expoentes. O problema central é determinar se existe um código do tipo "contraexemplo" — um que mimetize o comportamento de uma órbita divergente ou não convergente — satisfazendo condições de compatibilidade específicas nos domínios real, 2-ádico e 3-ádico.

Metodologia: O Diagnóstico 2–3–∞
Os autores propõem um framework de diagnóstico simbólico que avalia códigos de expoentes finitos com base em três métricas, coletivamente denominadas diagnóstico 2–3–∞:

1. Deriva Real ($d_k$): Mede o desvio do expoente médio em relação ao limiar crítico $\alpha = \log_2 3$. O código é crítico se $A_k/k \approx \alpha$ (onde $A_k = \sum a_i$), garantindo que o fator multiplicativo $3^k/2^{A_k}$ permaneça próximo da unidade.
   $$d_k = |A_k/k - \alpha|$$
2. Representante Inicial 2-ádico ($\rho_r$): Determina o resíduo inicial forçado $r_k$ módulo $2^{A_k}$ necessário para realizar o código. Para uma órbita genuína gerada por um inteiro fixo $n$, $r_k$ deve eventualmente igualar-se a $n$. O diagnóstico mede a taxa de crescimento deste resíduo:
   $$\rho_r(k) = \frac{\log(1 + r_k)}{k}$$
3. Representante Final 3-ádico ($\rho_M$): Determina o resíduo final forçado $M_k$ módulo $3^k$. Para uma órbita genuína, o endpoint deve satisfazer o limite de crescimento real $x_k + 1 \leq (n+1)(3/2)^k$. O diagnóstico mede a incompatibilidade com este limite:
   $$\rho_M(k) = \frac{\log(1 + M_k/(3/2)^k)}{k}$$

Contribuição Teórica
O artigo prova o Teorema 1, estabelecendo uma condição necessária para qualquer código de expoentes infinito gerado por um inteiro positivo fixo $n$: as taxas de resíduo devem desaparecer assintoticamente.
$$\lim_{k \to \infty} \rho_r(k) = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{k \to \infty} \rho_M(k) = 0$$
Consequentemente, o Corolário 2 afirma que, se um código infinito exibir $\liminf \rho_r(k) > 0$ ou $\liminf \rho_M(k) > 0$, ele não pode ser gerado por nenhum inteiro positivo fixo. Isso implica que um código de contraexemplo válido deve simultaneamente alcançar uma deriva real próxima da crítica enquanto mantém taxas de resíduo 2-ádicas e 3-ádicas evanescentes.

Abordagem Experimental
Os autores comparam três estratégias para gerar códigos de comprimento finito para $k \in \{100, 200, 400\}$ com um orçamento de avaliação fixo ($N_{eval} = 1000k$):

1. Códigos Críticos Aleatórios: Amostra $a_i \in \{1, 2\}$ com probabilidades ajustadas para produzir uma média esperada de $\log_2 3$.
2. Códigos Críticos Mecânicos: Utiliza uma construção determinística baseada na parte fracionária de $i(\log_2 3 - 1) + \theta$ para distribuir os expoentes uniformemente.
3. Busca Evolutiva Adaptativa: Uma estratégia evolucionária onde os códigos são genomas. A função de aptidão (fitness) minimiza um escore composto $S = d_k + \rho_r(k) + \rho_M(k)$. A busca emprega seleção, crossover, mutação, reparo de deriva (para manter médias críticas) e injeção de blocos mecânicos.

Resultados
Experimentos indicam que, embora a busca adaptativa melhore os trade-offs de comprimento finito em comparação aos baselines, ela falha em se aproximar do regime assintótico necessário:

• Taxas de Resíduo: Em todos os métodos e comprimentos, $\rho_r$ permanece na faixa $[0.95, 1.08]$ e $\rho_M$ em $[0.54, 0.68]$.
• Tendência: As taxas não tendem a zero conforme $k$ aumenta. Para $k=400$, a busca adaptativa produz um escore de $1.73838$, apenas marginalmente melhor que a amostragem crítica aleatória ($1.73653$) e pior que os códigos mecânicos em termos de deriva, embora os códigos mecânicos exibam taxas de resíduo mais altas.
• Conclusão dos Experimentos: A "obstrução diagnóstica" persiste; nenhum método consegue construir códigos que satisfaçam simultaneamente os requisitos de deriva real crítica e resíduos 2-ádicos/3-ádicos evanescentes.

Significância e Alegações
O artigo afirma explicitamente que sua contribuição não é um método de verificação da conjectura de Collatz. Em vez disso, oferece um framework de diagnóstico simbólico para sondar estruturas de obstrução dentro do espaço de códigos de expoentes.

A significância reside em demonstrar que construir um código do tipo contraexemplo não é meramente uma questão de alcançar a deriva real crítica (o que é facilmente feito), mas de satisfazer simultaneamente rigorosas condições de compatibilidade 2-ádica e 3-ádica. A persistência de taxas de resíduo positivas através das estratégias de busca aleatória, mecânica e adaptativa sugere que as restrições estruturais do mapa de Collatz tornam a realização simultânea dessas condições difícil, se não impossível, para valores iniciais fixos. Os autores concluem que trabalhos futuros devem focar no exame de comprimentos de código maiores e no estabelecimento de limites inferiores prováveis para essas taxas de resíduo.