Adaptive Search in Collatz Exponent-Code Space via 2-adic and 3-adic Constraints

Resumen Técnico: Búsqueda Adaptativa en el Espacio de Códigos de Exponentes de Collatz mediante Restricciones 2-ádicas y 3-ádicas

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la conjetura de Collatz, la cual postula que la trayectoria de cualquier entero positivo $n$ bajo el mapa $T(n) = n/2$ (si es par) o $T(n) = 3n+1$ (si es impar) eventualmente alcanza 1. En lugar de probar grandes rangos de enteros iniciales, los autores investigan un espacio de búsqueda simbólica definido por códigos de exponentes finitos del mapa acelerado de Collatz.

El mapa acelerado sobre enteros impares se define como $C(n) = (3n+1)/2^{v_2(3n+1)}$, donde $v_2(m)$ es el exponente de la mayor potencia de 2 que divide a $m$. Una trayectoria $x_{k+1} = C(x_k)$ genera una secuencia de exponentes $a_{k+1} = v_2(3x_k + 1)$. La secuencia $(a_1, \dots, a_k)$ constituye un código de exponentes. El problema central es determinar si existe un código de tipo "contraejemplo"—uno que imite el comportamiento de una órbita divergente o no convergente—mediante la satisfacción de condiciones de compatibilidad específicas a través de los dominios real, 2-ádico y 3-ádico.

Metodología: El Diagnóstico 2–3–∞
Los autores proponen un marco de diagnóstico simbólico que evalúa códigos de exponentes finitos basados en tres métricas, denominadas colectivamente el diagnóstico 2–3–∞:

1. Deriva Real ($d_k$): Mide la desviación del exponente promedio respecto al umbral crítico $\alpha = \log_2 3$. El código es crítico si $A_k/k \approx \alpha$ (donde $A_k = \sum a_i$), asegurando que el factor multiplicativo $3^k/2^{A_k}$ permanezca cerca de la unidad.
   $$d_k = |A_k/k - \alpha|$$
2. Representante Inicial 2-ádico ($\rho_r$): Determina el residuo forzado $r_k$ módulo $2^{A_k}$ requerido para realizar el código. Para una órbita genuina generada por un entero fijo $n$, $r_k$ debe eventualmente ser igual a $n$. El diagnóstico mide la tasa de crecimiento de este residuo:
   $$\rho_r(k) = \frac{\log(1 + r_k)}{k}$$
3. Representante Final 3-ádico ($\rho_M$): Determina el residuo final forzado $M_k$ módulo $3^k$. Para una órbita genuina, el punto final debe satisfacer el límite de crecimiento real $x_k + 1 \leq (n+1)(3/2)^k$. El diagnóstico mide la incompatibilidad con este límite:
   $$\rho_M(k) = \frac{\log(1 + M_k/(3/2)^k)}{k}$$

Contribución Teórica
El artículo demuestra el Teorema 1, estableciendo una condición necesaria para cualquier código de exponente infinito generado por un entero positivo $n$: las tasas de residuo deben desvanecerse asintóticamente.
$$\lim_{k \to \infty} \rho_r(k) = 0 \quad \text{y} \quad \lim_{k \to \infty} \rho_M(k) = 0$$
Consecuentemente, el Corolario 2 establece que si un código infinito exhibe $\liminf \rho_r(k) > 0$ o $\liminf \rho_M(k) > 0$, no puede ser generado por ningún entero positivo fijo. Esto implica que un código de contraejemplo válido debe lograr simultáneamente una deriva real cercana a la crítica mientras mantiene tasas de residuo 2-ádicas y 3-ádicas desvanecientes.

Enfoque Experimental
Los autores comparan tres estrategias para generar códigos de longitud finita para $k \in \{100, 200, 400\}$ con un presupuesto de evaluación fijo ($N_{eval} = 1000k$):

1. Códigos Críticos Aleatorios: Muestrea $a_i \in \{1, 2\}$ con probabilidades ajustadas para producir un promedio esperado de $\log_2 3$.
2. Códigos Críticos Mecánicos: Utiliza una construcción determinista basada en la parte fraccionaria de $i(\log_2 3 - 1) + \theta$ para distribuir los exponentes uniformemente.
3. Búsqueda Evolutiva Adaptativa: Una estrategia evolutiva donde los códigos son genomas. La función de aptitud (fitness) minimiza un puntaje compuesto $S = d_k + \rho_r(k) + \rho_M(k)$. La búsqueda emplea selección, cruce, mutación, reparación de deriva (para mantener promedios críticos) e inyección de bloques mecánicos.

Resultados
Los experimentos indican que, si bien la búsqueda adaptativa mejora los compromisos de longitud finita en comparación con las líneas base, no logra aproximarse al régimen asintótico necesario:

• Tasas de Residuo: A través de todos los métodos y longitudes, $\rho_r$ permanece en el rango $[0.95, 1.08]$ y $\rho_M$ en $[0.54, 0.68]$.
• Tendencia: Las tasas no tienden a cero a medida que $k$ aumenta. Para $k=400$, la búsqueda adaptativa produce un puntaje de $1.73838$, solo marginalmente mejor que el muestreo crítico aleatorio ($1.73653$) y peor que los códigos mecánicos en términos de deriva, aunque los códigos mecánicos exhiben tasas de residuo más altas.
• Conclusión de los Experimentos: La "obstrucción de diagnóstico" persiste; ningún método logra construir códigos que satisfagan simultáneamente los requisitos de deriva real cercana a la crítica y tasas de residuo 2-ádicas/3-ádicas desvanecientes.

Significado y Reivindicaciones
El artículo establece explícitamente que su contribución no es un método de verificación de la conjetura de Collatz. En su lugar, ofrece un marco de diagnóstico simbólico para sondear las estructuras de obstrucción dentro del espacio de códigos de exponentes.

La significancia radica en demostrar que la construcción de un código similar a un contraejemplo no es simplemente una cuestión de lograr una deriva real crítica (lo cual es fácil de hacer), sino de satisfacer simultáneamente estrictas condiciones de compatibilidad 2-ádica y 3-ádica. La persistencia de tasas de residuo positivas a través de las estrategias de búsqueda aleatoria, mecánica y adaptativa sugiere que las restricciones estructurales del mapa de Collatz hacen que la realización simultánea de estas condiciones sea difícil, si no imposible, para valores iniciales fijos. Los autores concluyen que el trabajo futuro debería centrarse en examinar longitudes de código mayores y establecer cotas inferiores demostrables para estas tasas de residuo.