The P behind Q: Empirical Evidence from Physical Drift in Put-Call Parity

Technische Samenvatting: De P achter Q: Empirisch Bewijs uit Fysieke Drift in Put-Call Pariteit

Probleemstelling
Put-call pariteit is een identiteit voor einduitkering die geldt onder risiconeutrale (Q-maatstaf) prijsbepaling, onafhankelijk van de fysieke (P-maatstaf) drift van de onderliggende activa. Het afdwingen van deze pariteit vóór vervaldag vereist echter kapitaaltoewijzing, variatiemarge en financiering, waardoor het proces padafhankelijk wordt. Hoewel de genoteerde put-call pariteitsresidu's in de prijsruimte vaak sterk gecomprimeerd zijn in liquide markten zoals SPX en RUT, blijft er een systematische wig bestaan in het "synthetisch-handelsforwardkanaal" wanneer door opties geïmpliceerde disconteringsfactoren worden vergeleken met OIS-benchmarks.

Het centrale probleem dat wordt aangepakt, is of deze residuale "carry-gap" (de geannualiseerde wig tussen door opties geïmpliceerde en OIS-disconteringsfactoren) uitsluitend diffusiegedreven padrisico (volatiliteit) weerspiegelt, of dat deze ook de kosten omvat om pariteit te handhaven onder een fysiek prijspad met een niet-nul drift. Specifiek onderzoekt het artikel of de richting van het fysieke prijspad asymmetrische marge- en kapitaallasten creëert voor arbitrageurs, waardoor het afdwingingsmechanisme zelfs wanneer de einduitkering risiconeutraal blijft, blootgesteld wordt aan fysieke drift.

Methodologie
Het artikel hanteert een gereduceerde-formule empirische aanpak met behulp van NBBO-cursussen op minuutniveau voor Europese indexopties op SPX en RUT, gekoppeld aan OIS-disconteringsfactoren.

1. Constructie van de Carry-Gap: De afhankelijke variabele is de carry-gap ($CG$), gedefinieerd als het geannualiseerde logaritmische verschil tussen de OIS-disconteringsfactor en de door opties geïmpliceerde disconteringsfactor afgeleid uit put-call pariteit.
2. Basispecificatie: De auteurs stellen eerst een benchmarkregressie vast op basis van een padrisicoterm voor geometrische Brownse beweging (GBM). Deze term, $r\sigma\sqrt{\tau}$, vertegenwoordigt het steunkapitaal dat nodig is om willekeurige prijsdiffusie te overleven, geschaald naar opportuniteitskosten (OIS-tarieven). Het basismodel controleert voor diffusiepadrisico (met behulp van 1-jaar en 10-jaar OIS-tarieven), handelsfricties (bid-ask spreads) en brede financiële condities (NFCI).
3. Driftbehoudende Extensie: De centrale theoretische bijdrage is de afleiding van een driftbehoudende extensie van het steunkapitaal-argument. Hoewel de einduitkering deterministisch is, hangt het margepad vóór vervaldag af van de richting van de blootstelling via de futures-poot. De auteurs leiden af dat het behouden van fysieke drift $\mu$ een eerste-orde directionele last toevoegt die evenredig is aan $r\mu\tau$.
   • Aangezien de ware fysieke drift $\mu$ niet wordt waargenomen, gebruikt het artikel een gereduceerde-formule proxy $\hat{\mu}$, gedefinieerd als de eerdere rolling-OLS-helling van de log totale-terugrendement-index (met een terugblik van 504 handelsdagen om look-ahead bias te vermijden).
   • De empirische regressor wordt geconstrueerd als $GBM_{\hat{\mu}, OIS, 1Y} \propto r \hat{\mu} \tau$.
4. Empirisch Ontwerp: De studie schat afzonderlijke regressies voor SPX en RUT. De prestaties worden geëvalueerd aan de hand van in-sample fit ($R^2$, RMSE, MAE) en leave-one-year-out (LOYO) out-of-sample validatie. Inferentie wordt uitgevoerd met datumgebaseerde HAC (Newey–West) standaardfouten met een vertraging van 21 dagen.

Belangrijkste Bijdragen

1. Herverkadering van de Carry-Gap: Het artikel verankert de carry-gap niet als een falen van put-call pariteit, maar als een "implementatiewig". Het toont aan dat hoewel residu's in de prijsruimte gecomprimeerd zijn, de kosten om pariteit af te dwingen in de carry-ruimte zichtbaar en staat-afhankelijk blijven.
2. Driftbehoudende GBM-Term: Het artikel leidt een nieuwe empirische term af en test deze, $r\hat{\mu}\tau$, die de standaard diffusiegedreven padrisicoterm ($r\sigma\sqrt{\tau}$) uitbreidt. Deze term vangt de directionele marge-last die gepaard gaat met fysieke prijstrends, en onderscheidt de kosten van het afdwingen van pariteit vanuit de long-futures-poot versus de short-futures-poot.
3. Fysieke Drift in Afdwinging: De studie levert bewijs dat fysieke drift de process van het afdwingen van risiconeutrale pariteit (via marge- en kapitaalkosten) binnendringt, en niet de optieke uitkeringen zelf. Dit ondersteunt de "P achter Q"-these: de kapitaalsteuntechnologie die nodig is om een risiconeutrale relatie te implementeren, wordt gerealiseerd langs het fysieke prijspad.

Resultaten

• In-Sample Fit: Het toevoegen van de driftterm ($GBM_{\hat{\mu}, OIS, 1Y}$) verbetert de in-sample fit voor beide markten, met een aanzienlijk grotere winst voor SPX. Voor SPX stijgt $R^2$ van 0,312 naar 0,348; voor RUT van 0,281 naar 0,287. De verbetering is monotoon over de looptijdbakken in SPX en wordt duidelijker bij langere tenors (bijvoorbeeld een $R^2$-winst van 0,106 in de 21m+ bak), wat consistent is met de $\tau$-schaling van de driftterm.
• Out-of-Sample Prestaties: De drift-uitgebreerde specificatie verbetert de LOYO out-of-sample prestaties. In SPX stijgt de gepoolde OOS $R^2$ van 0,221 naar 0,310, met opmerkelijke verbeteringen tijdens volatiele regimes (bijvoorbeeld 2020, 2021). In RUT is de verbetering kleiner (gepoolde OOS $R^2$ van 0,171 naar 0,188) maar consistent.
• Coëfficiëntenstructuur: De coëfficiënt op de driftterm ($\psi$) is positief en statistisch significant op het 1%-niveau in beide markten onder HAC(21)-inferentie.
  • SPX: $\psi \approx 0,119$
  • RUT: $\psi \approx 0,054$
  • Het positieve teken geeft aan dat de waarneembare driftproxy overeenkomt met de carry-gap na controle voor diffusierisico en fricties.
  • De opname van de driftterm vermindert de grootte en significantie van de lang-horizon OIS padrisicotermin SPX, wat suggereert dat de driftproxy laagfrequente variatie absorbeert die eerder werd toegeschreven aan padrisico op lange rentetarieven.
• Stabiliteit: De tekens van de coëfficiënten blijven stabiel over alle LOYO-folden, en de significantie van de driftterm blijft overeind over verschillende terugblikhorizons, met name rond het 504-dagen (twee-jaar) medium-horizonvenster.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt bescheiden dat het de geldigheid van risiconeutrale prijsbepaling of de put-call pariteitsidentiteit voor einduitkering niet in twijfel trekt. In plaats daarvan identificeert het een distincte "implementatielaag" achter de Q-maatstaf relatie.

• De "P achter Q": De betekenis ligt in het aantonen dat de kapitaallast van het afdwingen van een risiconeutrale relatie blootgesteld is aan prijsdynamiek onder de fysieke maatstaf. De "P" (fysieke drift) beïnvloedt de "Q" (risiconeutrale afdwinging) niet door de uitkering te wijzigen, maar door de kosten van het kapitaal te veranderen die nodig is om het pad tot vervaldag te overleven.
• Implementatiepremie: De carry-gap wordt geïnterpreteerd als een implementatiepremie. Zelfs wanneer genoteerde pariteit strak is, kan het synthetisch-forwardkanaal misaligneren met gehandelde futures vanwege het eindige karakter van arbitragekapitaal, financieringsbeperkingen en de asymmetrische marge-lasten die worden gecreëerd door fysieke drift.
• Praktische Interpretatie: De gefitte carry-gap dient als een staat-afhankelijke "prijsruimte-horde". Het suggereert dat arbitrageurs waargenomen pariteitsresidu's niet alleen moeten vergelijken met nul, maar tegen een horde die rekening houdt met volatiliteit, financieringstarieven, handelsfricties en de directionele marge-last die wordt geïmpliceerd door recente fysieke drift.

Het artikel concludeert dat hoewel een volledig structureel model voor prijsbepaling van pariteitsafdwinging voor toekomstig onderzoek blijft, het gereduceerde-formule bewijs bevestigt dat de kosten van het afdwingen van risiconeutrale pariteit gedeeltelijk zijn afgestemd op informatie over het fysieke pad.