Modelling the onset and evolution of immiscible viscous fingering in porous media

Technische Samenvatting: Modellering van de aanvang en evolutie van onmengbare viskeuze vingering in poreuze media

Probleemstelling
De simulatie van onmengbare viskeuze vingering in poreuze media is cruciaal voor het begrijpen van verplaatsingsprocessen in de petroleumtechnologie en de hydrogeologie. Hoewel er aanzienlijk theoretisch en numeriek werk bestaat, blijft het matchen van continuüm-schaal simulaties met experimentele gegevens een uitdaging. Specifiek slaagden eerdere modellen (bijv. Salmo et al.) er wel in om vroege stadium vingerpatronen en productiecurves te reproduceren voor hoge viscositeitsverhoudingen (bijv. $\mu_o/\mu_w = 2000$), maar faalden ze in het vastleggen van twee belangrijke experimentele waarnemingen in een later stadium: (1) de afwezigheid van een stabiele, rarefactiezone die de vingers volgt, en (2) de aanwezigheid van significante gepasseerde oliegebieden na doorbraak. Dit artikel behandelt de fysische mechanismen en modelleringsvereisten die nodig zijn om deze specifieke kenmerken te reproduceren die werden waargenomen in het E2000-experiment (water dat 2000 mPa·s olie verdringt in een Bentheimer zandsteenplaat).

Methodologie
De auteurs hebben een natuurkundig geleide numerieke modelleringsaanpak ontwikkeld met behulp van de commerciële black-oil simulator IMEX. De methodologie integreert drie primaire componenten:

1. Lineaire Stabiliteitsanalyse (LSA): Gebruikt om de aanvang van instabiliteit te karakteriseren. De auteurs analyseerden experimentele röntgenbeelden van het E2000-experiment om de dominante golfgetal ($\hat{\nu}$) van de vingers in de vroege stadia te bepalen. Zij gebruikten LSA om relatieve permeabiliteitsfuncties (RP) en capillaire drukfuncties ($P_c$) te selecteren die een meest onstabiel golfgetal ($\nu_{max}$) opleveren dat aanzienlijk groter is dan $\hat{\nu}$. Dit houdt rekening met de nietlineaire effecten van afscherming (shielding) en samensmelting (merging), die het golfgetal verminderen naarmannen de vingers dikker worden en samensmelten.
2. Selectie van Flow Functies: Twee sets RP-functies (RP1 en RP2) en twee $P_c$-functies (Pc1 en Pc2) werden getest. De geselecteerde functies (RP2-Pc2) werden gekozen om instabiliteit te maximaliseren terwijl de consistentie met experimentele productiegegevens (watergehalte en olieopbrengst) behouden bleef. De $P_c$-functie werd specifiek geselecteerd om een zwak olie-nat systeem te vertegenwoordigen met een lage ratio van afgeleide tot grootte ($|J'_c|/|J_c|$), wat de capillaire heterogeniteitseffecten versterkt.
3. Multiscale Permeabiliteitsheterogeniteit: Om de experimentele verzadigingsvelden te reproduceren, hebben de auteurs een multiscale permeabiliteitsveld geconstrueerd. Dit veld combineert:
   • Small-scale heterogeniteit: Willekeurig gecorreleerde velden om de stabiele rarefactiezone achter de vingers te verstoren en tip splitting te induceren.
   • Large-scale heterogeniteit: Geconditioneerd via een "image guide" afgeleid van experimentele röntgenscans om de ontwikkeling van vingers te sturen en preferentiële paden te creëren.
   • Capillaire Heterogeniteit: De $P_c$-functie werd afhankelijk gemaakt van permeabiliteit ($P_c \propto \tau^{-1/2}$), waardoor een capillaire-heterogeniteitsterm werd geïntroduceerd die fungeert als een barrière voor de invallende fase in gebieden met lage permeabiliteit wanneer de verdreven fase bevochtigend is.

Belangrijkste Resultaten
Het voorgestelde model slaagde erin de E2000-experimentele gegevens te matchen op basis van meerdere metrieken:

• Vinger Schalen: Door flow functies te selecteren waarbij $\nu_{max} \approx 6 \text{ cm}^{-1}$ (ongeveer 10 keer het experimentele dominante golfgetal van $\approx 0.6 \text{ cm}^{-1}$), reproduceerde het model de correcte vingerbreedte na rekening te houden met nietlineaire samensmelting en afscherming.
• Afwezigheid van Rarefactiezone: De inclusie van small-scale permeabiliteitsheterogeniteit verstoorde succesvol de stabiele achterliggende zone die gebruikelijk is in homogene simulaties, waardoor de vingers tot aan de inlaat konden reiken, consistent met het experiment.
• Gepasseerde Olie: De combinatie van een zwak olie-natte $P_c$-functie en large-scale permeabiliteitsheterogeniteit (met een bescheiden contrast van $K_{max}/K_{min} \approx 3.5$) reproduceerde succesvol de gepasseerde oliegebieden die werden waargenomen in de late stadia (2+ PVI).
• Productiegegevens: Het model kwam de drukval, het effluent watergehalte en de olieopbrengstcurves nauwkeurig overeen.
• Verzadigingsdistributie: Het model legde de verbreding van de verzadigingshistogram vast, waarbij een hoge verzadiging in hoog-permeabele regio's en een lage verzadiging (gevangen olie) in laag-permeabele regio's werd getoond, een kenmerk dat afwezig is in modellen met een vaste of nul capillaire druk.

Betekenis en Claims
Het artikel beweert een reeks natuurkundig geleide beperkingen te bieden voor het modelleren van onmengbare viskeuze vingering, waarbij verder wordt gegaan dan eenvoudige geschiedenis-matching om de onderliggende fysische mechanismen te vatten. De auteurs benadrukken dat:

• LSA als Gids: Lineaire stabiliteitsanalyse is een noodzakelijke gids voor het selecteren van flow functies; de initiële meest onstabiele golflengte moet enkele malen kleiner zijn dan de gewenste uiteindelijke vingerbreedte om rekening te houden met de nietlineaire evolutie.
• Rol van Heterogeniteit: Small-scale heterogeniteit is vereist om de rarefactiezone te verstoren, terwijl large-scale heterogeniteit (zelfs met een bescheiden contrast) noodzakelijk is om gepasseerde oliegebieden te creëren, met name wanneer dit gekoppeld is aan capillaire-heterogeniteitseffecten in olie-natte systemen.
• Capillaire-Heterogeniteitseffecten: De studie toont aan dat capillaire heterogeniteit, die vaak wordt genegeerd in modellen op veldschaal, een cruciale rol speelt bij het vangen van de bevochtigende fase (olie) in laag-permeabele regio's, wat de verplaatsingsefficiëntie aanzienlijk beïnvloedt, zelfs in relatief homogene media.

De auteurs concluderen dat hoewel een uniek predictief model voor dergelijke complexe systemen nog steeds onbereikbaar is, hun methodologie een robuust sjabloon biedt voor het matchen van hoog-mobiliteitscontrast meervasige verplaatsingen door expliciet de interactie tussen flow functies, multiscale heterogeniteit en capillaire krachten aan te pakken.