Modelling the onset and evolution of immiscible viscous fingering in porous media

技术摘要：多孔介质中不混相粘性指进的起始与演化建模

问题陈述
多孔介质中不混相粘性指进（viscous fingering）的模拟对于理解石油工程和水文地质中的驱替过程至关重要。尽管已存在大量的理论和数值研究，但将连续介质尺度的模拟与实验数据进行匹配仍然具有挑战性。具体而言，以往的模型（例如 Salmo 等人的研究）成功再现了高粘度比（如 $\mu_o/\mu_w = 2000$）下的早期阶段指进模式和生产曲线，但未能捕捉到两个关键的后期实验观测现象：（1）在指进后方不存在稳定的稀疏区（rarefaction zone）；（2）突破后存在显著的旁流油（bypassed oil）区域。本文旨在探讨重建 E2000 实验（水驱 2000 mPa·s 油，使用 Bentheimer 砂岩板）中所观察到的这些特征所需的物理机制和建模要求。

方法论
作者开发了一种基于物理引导的数值建模方法，使用了商业黑油模拟器 IMEX。该方法集成了三个主要组成部分：

1. 线性稳定性分析 (LSA)： 用于表征不稳定性起始阶段。作者通过分析 E2000 实验的 X 射线图像，确定了早期阶段指进的主导波数 ($\hat{\nu}$)。他们利用 LSA 来选择相对渗透率 (RP) 函数和毛细管压力 ($P_c$) 函数，使得所得的最不稳定波数 ($\nu_{max}$) 显著大于 $\hat{\nu}$。这考虑了屏蔽（shielding）和合并（merging）产生的非线性效应，这些效应会随着指进宽度的增加和合并而降低波数。
2. 流度函数选择： 测试了两组相对渗透率函数（RP1 和 RP2）以及两组毛细管压力函数（Pc1 和 Pc2）。选定的函数（RP2-Pc2）旨在最大化不稳定性，同时保持与实验生产数据（含水率和采收率）的一致性。$P_c$ 函数的选取特别考虑了代表弱亲油系统，其导数与量值之比（$|J'_c|/|J_c|$）较低，从而增强了毛细管非均匀性效应。
3. 多尺度渗透率非均匀性： 为了重现实验饱和度场，作者构建了一个多尺度渗透率场。该场结合了：
   • 小尺度非均匀性： 通过随机相关场来破坏指进后方的稳定稀疏区并诱发尖端分裂（tip splitting）。
   • 大尺度非均匀性： 通过源自实验 X 射线扫描的“图像引导”进行约束，以引导指进的发展并创建优先路径。
   • 毛细管非均匀性： 使 $P_c$ 函数依赖于渗透率（$P_c \propto \tau^{-1/2}$），引入了一个毛细管非均匀项，当置换相为润湿相时，该项会在低渗透区域对入侵相产生阻碍作用。

关键结果
所提出的模型成功匹配了 E2000 实验的多项指标：

• 指进尺度： 通过选择使 $\nu_{max} \approx 6 \text{ cm}^{-1}$（大约是实验主导波数 $\approx 0.6 \text{ cm}^{-1}$ 的 10 倍）的流度函数，模型在考虑了非线性合并和屏蔽后，成功重现了正确的指进宽度。
• 消除稀疏区： 引入小尺度渗透率非均匀性成功破坏了常见于均匀模拟中的稳定后方稀疏区，使指进能够延伸至入口处，这与实验观察一致。
• 旁流油： 结合弱亲油 $P_c$ 函数和大尺度渗透率非均匀性（具有适度的对比度 $K_{max}/K_{min} \approx 3.5$），成功重现了在后期阶段（2+ PVI）观察到的旁流油区域。
• 生产数据： 模型准确匹配了压降、出水含水率和采收率曲线。
• 饱和度分布： 模型捕捉到了饱和度直方图的展宽，显示出在高渗透区域具有高饱和度，而在低渗透区域具有低饱和度（滞留油），这一特征在固定或零毛细管压力的模型中是不存在的。

意义与主张
本文声称提供了一套用于模拟不混相粘性指进的物理引导约束，超越了简单的历史拟合，转而捕捉底层的物理机制。作者强调：

• LSA 作为引导： 线性稳定性分析是选择流度函数的必要指南；初始最不稳定波长必须是所需最终指进宽度的数倍，以补偿非线性演化的影响。
• 非均匀性的作用： 小尺度非均匀性是破坏稀疏区所必需的，而大尺度非均匀性（即使对比度适中）对于产生旁流油区域也是必要的，特别是当其与亲油系统的毛细管非均匀效应耦合时。
• 毛细管非均匀性效应： 本研究表明，毛细管非均匀性（在场尺度模型中常被忽略）在捕获低渗透区域中的润湿相（油）方面起着关键作用，即使在相对均匀的介质中，也会显著影响驱替效率。

作者得出结论，虽然对于此类复杂系统，建立一个唯一的预测模型仍然难以实现，但其方法论提供了一个稳健的模板，通过明确处理流度函数、多尺度非均匀性和毛细管力之间的相互作用，来实现高迁移率对比度多相流动的匹配。