Modelling the onset and evolution of immiscible viscous fingering in porous media

Résumé technique : Modélisation de l'apparition et de l'évolution du doigtement visqueux immiscible en milieux poreux

Énoncé du problème
La simulation du doigtement visqueux immiscible en milieux poreux est cruciale pour la compréhension des processus de déplacement en ingénierie pétrolière et en hydrogéologie. Bien qu'un travail théorique et numérique important existe, faire correspondre les simulations à l'échelle continue aux données expérimentales reste un défi. Plus précisément, les modèles précédents (par exemple, Salmo et al.) ont réussi à reproduire les motifs de doigts au stade initial et les courbes de production pour des rapports de viscosité élevés (par exemple, $\mu_o/\mu_w = 2000$), mais n'ont pas réussi à capturer deux observations expérimentales clés de la phase tardive : (1) l'absence d'une zone de raréfaction stable traînant derrière les doigts, et (2) la présence de régions d'huile contournées significatives après le percement. Cet article traite des mécanismes physiques et des exigences de modélisation nécessaires pour reproduire ces caractéristiques spécifiques observées lors de l'expérience E2000 (eau déplaçant de l'huile de 2000 mPa·s dans une plaque de grès de type Bentheimer).

Méthodologie
Les auteurs ont développé une approche de modélisation numérique guidée par la physique en utilisant le simulateur de type « black-oil » commercial IMEX. La méthodologie intègre trois composantes primaires :

1. Analyse de stabilité linéaire (LSA) : Utilisée pour caractériser l'apparition de l'instabilité. Les auteurs ont analysé les images de rayons X expérimentales de l'expérience E2000 pour déterminer le nombre d'onde dominant ($\hat{\nu}$) des doigts au stade précoce. Ils ont utilisé la LSA pour sélectionner des fonctions de perméabilité relative (RP) et de pression capillaire ($P_c$) qui produisent un nombre d'onde le plus instable ($\nu_{max}$) nettement supérieur à $\hat{\nu}$. Cela permet de prendre en compte les effets non linéaires de blindage et de fusion, qui réduisent le nombre d'onde à mesure que les doigts s'épaississent et fusionnent.
2. Sélection des fonctions d'écoulement : Deux ensembles de fonctions RP (RP1 et RP2) et deux fonctions $P_c$ (Pc1 et Pc2) ont été testés. Les fonctions sélectionnées (RP2-Pc2) ont été choisies pour maximiser l'instabilité tout en maintenant la cohérence avec les données de production expérimentales (fraction d'eau et récupération d'huile). La fonction $P_c$ a été spécifiquement choisie pour représenter un système faiblement oléophile avec un faible rapport entre la dérivée et la magnitude ($|J'_c|/|J_c|$), renforçant ainsi les effets d'hétérogénéité capillaire.
3. Hétérogénéité de perméabilité multi-échelle : Pour reproduire les champs de saturation expérimentaux, les auteurs ont construit un champ de perméabilité multi-échelle. Ce champ combine :
   • Hétérogénéité à petite échelle : Des champs corrélés aléatoirement pour perturber la zone de raréfaction stable traînant derrière les doigts et induire la division des pointes (tip splitting).
   • Hétérogénéité à grande échelle : Conditionnée via un « guide d'image » dérivé des scans de rayons X expérimentaux pour orienter le développement des doigts et créer des voies préférentielles.
   • Hétérogénéité capillaire : La fonction $P_c$ a été rendue dépendante de la perméabilité ($P_c \propto \tau^{-1/2}$), introduisant un terme d'hétérogénéité capillaire qui agit comme une barrière pour la phase envahissante dans les régions de faible perméabilité lorsque la phase déplacée est mouillante.

Résultats clés
Le modèle proposé a réussi à faire correspondre les données expérimentales E2000 selon plusieurs métriques :

• Échelles de doigts : En sélectionnant des fonctions d'écoulement où $\nu_{max} \approx 6 \text{ cm}^{-1}$ (environ 10 fois le nombre d'onde dominant expérimental de $\approx 0,6 \text{ cm}^{-1}$), le modèle a reproduit la largeur de doigt correcte en tenant compte de la fusion et du blindage non linéaires.
• Absence de zone de raréfaction : L'inclusion de l'hétérogénéité de perméabilité à petite échelle a réussi à perturber la zone de traîne stable couramment observée dans les simulations homogènes, permettant aux doigts de s'étendre jusqu'à l'entrée, conformément à l'expérience.
• Huile contournée : La combinaison d'une fonction $P_c$ faiblement oléophile et d'une hétérogénéité de perméabilité à grande échelle (avec un contraste modeste de $K_{max}/K_{min} \approx 3,5$) a réussi à reproduire les régions d'huile contournées observées aux stades tardifs (2+ PVI).
• Données de production : Le modèle a correspondre avec précision à la chute de pression, à la fraction d'eau effluent et aux courbes de récupération d'huile.
• Distribution de saturation : Le modèle a capturé l'élargissement de l'histogramme de saturation, montrant une saturation élevée dans les régions de haute perméabilité et une saturation faible (huile piégée) dans les régions de faible perméabilité, une caractéristique absente des modèles avec une pression capillaire fixe ou nulle.

Signification et revendications
L'article affirme fournir un ensemble de contraintes guidées par la physique pour la modélisation du doigtement visqueux immiscible, allant au-delà de la simple mise en correspondance historique pour capturer les mécanismes physiques sous-jacents. Les auteurs soulignent que :

• La LSA comme guide : L'analyse de stabilité linéaire est un guide nécessaire pour la sélection des fonctions d'écoulement ; la longueur d'onde la plus instable initiale doit être plusieurs fois plus petite que la largeur finale de doigt souhaitée pour tenir compte de l'évolution non linéaire.
• Rôle de l'hétérogénéité : L'hétérogénéité à petite échelle est nécessaire pour perturber la zone de raréfaction, tandis que l'hétérogénéité à grande échelle (même avec un contraste modeste) est nécessaire pour créer des régions d'huile contournée, particulièrement lorsqu'elle est couplée aux effets d'hétérogénéité capillaire dans les systèmes oléophiles.
• Effets d'hétérogénéité capillaire : L'étude démontre que l'hétérogénéité capillaire, souvent négligée dans les modèles à l'échelle du réservoir, joue un rôle critique dans le piégeage de la phase mouillante (l'huile) dans les régions de faible perméabilité, impactant significativement l'efficacité du déplacement, même dans des milieux relativement homogènes.

Les auteurs concluent que bien qu'un modèle prédictif unique pour des systèmes aussi complexes demeure élusif, leur méthodologie offre un modèle robuste pour faire correspondre les déplacements multiphasiques à fort contraste de mobilité en abordant explicitement l'interaction entre les fonctions d'écoulement, l'hétérogénéité multi-échelle et les forces capillaires.