Modelling the onset and evolution of immiscible viscous fingering in porous media

技術要約：多孔質媒体における不混和性粘性フィンガリングの発達と進展のモデリング

問題提起
多孔質媒体における不混和性粘性フィンガリングのシミュレーションは、石油工学や水文学における置換プロセスの理解において極めて重要である。既存の理論的・数値的な研究は数多く存在するが、連続体スケールのシミュレーションを実験データに一致させることは依然として困難である。具体的には、従来のモデル（例：Salmoら）は、高い粘度比（例：$\mu_o/\mu_w = 2000$）において初期段階のフィンガーパターンや生産曲線を再現することには成功したが、実験で見られる以下の2つの重要な後期段階の現象を捉えることができなかった：(1) フィンガーの後方に安定した希薄化帯（rarefaction zone）が存在しないこと、および (2) ブレイクスルー後に顕著なバイパスされたオイル領域が存在することである。本論文は、E2000実験（ベントハイマー砂岩スラブ内での水による1粘度2000 mPa·sのオイルの置換）で観察されたこれらの特徴を再現するために必要な物理的メカニズムとモデリングの要件について検討する。

手法
著者らは、商用ブラックオイルシミュレータIMEXを用いた、物理学に基づいた数値モデリング手法を開発した。この手法は、主に以下の3つのコンポーネントを統合している。

1. 線形安定性解析 (LSA): 不安定性の発生を特徴付けるために使用される。著者らは、E2000実験のX線画像を用いて、初期段階におけるフィンガーの支配的な波数（$\hat{\nu}$）を決定した。LSAを利用して、最も不安定な波数（$\nu_{max}$）が$\hat{\nu}$よりも大幅に大きくなるような相対浸透率（RP）および毛管圧（$P_c$）関数を選択した。これにより、フィンガーが太くなり合体する際に波数が減少するという、遮蔽効果（shielding）や合体（merging）による非線形効果を考慮している。
2. 流動関数の選択: 2組のRP関数（RP1およびRP2）と2組の$P_c$関数（Pc1およびPc2）をテストした。選択された関数（RP2-Pc2）は、実験の生産データ（水切断率およびオイル回収率）との整合性を維持しつつ、不安定性を最大化するように選ばれた。$P_c$関数は、微弱なオイルウェット系を表現し、微分値と大きさの比（$|J'_c|/|J_c|$）が低い関数を選択することで、毛管不均一性の影響を高めている。
3. マルチスケール浸透率不均一性: 実験的な飽和場を再現するために、著者らはマルチスケール浸透率場を構築した。この場は以下を組み合わせている：
   • 小スケール不均一性: フィンガーの後方の安定した希薄化帯を破壊し、チップスプリッティング（tip splitting）を誘発するための、ランダムに相関した場。
   • 大スケール不均一性: フィンガーの発達を誘導し、優先的な経路を作成するために、実験のX線スキャンから得られた「イメージガイド」によって条件付けられた場。
   • 毛管不均一性: $P_c$関数を浸透率に依存（$P_c \propto \tau^{-1/2}$）させ、置換される相がウェット相である場合に、低浸透率領域における侵入相に対する障壁として機能する毛管不均一性項を導入した。

主な結果
提案されたモデルは、複数の指標においてE2000実験データと一致することに成功した。

• フィンガーのスケール: $\nu_{max} \approx 6 \text{ cm}^{-1}$ となる流動関数を選択することで（これは実験の支配的な波数である $\approx 0.6 \text{ cm}^{-1}$ の約10倍である）、非線形な合体と遮蔽を考慮した後の正しいフィンガー幅を再現した。
• 希薄化帯の不在: 小スケール浸透率不均一性を組み込むことで、均質なシミュレーションで一般的に見られる安定した後方帯を破壊し、実験と一致するようにフィンガーが入口まで伸長することを可能にした。
• バイパスされたオイル: 微弱なオイルウェットの$P_c$関数と、大スケール浸透率不均一性（$K_{max}/K_{min} \approx 3.5$ という穏やかなコントラスト）の組み合わせにより、後期段階（2+ PVI）で観察されるバイパスされたオイル領域を再現することに成功した。
• 生産データ: 圧力降下、流出水切断率、およびオイル回収率の曲線を正確に一致させた。
• 飽和分布: 飽和度ヒストグラムの広がりを捉えた。これは、高浸透率領域における高飽和度と、低浸透率領域における低飽和度（トラップされたオイル）を示しており、固定された、あるいはゼロの毛管圧を用いたモデルには見られない特徴である。

意義と主張
本論文は、単なるヒストリーマッチングを超えて、基礎となる物理メカニズムを捉えるための、物理学に基づいた制約条件のセットを提供していると主張している。著者らは以下を強調している：

• ガイドとしてのLSA: 線形安定性解析は、流動関数を選択するための不可欠なガイドである。初期の最も不安定な波長は、非線形な進化を考慮すると、最終的なフィンガー幅よりも数倍小さくなければならない。
• 不均一性の役割: 希薄化帯を破壊するには小スケール不均一性が必要であり、一方で、バイパスされたオイル領域を作り出すには、特に毛管不均一性の効果と結合した場合において、大スケール不均一性（たとえコントラストが穏やかであっても）が必要である。
• 毛管不均一性の効果: 毛管不均一性は、フィールドスケールのモデルではしばしば無視されるが、低浸透率領域におけるウェット相（オイル）の捕捉において重要な役割を果たし、比較的均質な媒体であっても置換効率に大きな影響を与えることを本研究は示している。

結論として、このような複雑なシステムに対して唯一の予測モデルを見出すことは依然として困難であるが、彼らの手法は、流動関数、マルチスケール不均一性、および毛管力の相互作用を明示的に扱うことで、高移動度比の多相置換をマッチングするための堅牢なテンプレートを提供するものである。