Two-stage Least Squares with Clustered Data under the Local Average Treatment Effect Framework

Resumo Técnico: Two-stage least squares with clustered data

Autores: Anqi Zhao, Peng Ding e Fan Li.
Instituições: Duke University e University of California, Berkeley.
Objetivo Principal: Analisar as propriedades causais, a eficiência e a inferência de duas abordagens comuns para estimar efeitos de tratamento endógenos em dados agrupados (clustered): o Mínimos Quadrados em Dois Estágios Canônico (2SLS) e o Mínimos Quadrados em Dois Estágios com Efeitos Fixos (2SFE).

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1. O Problema

Em economia empírica, é comum observar dados onde unidades (indivíduos, empresas, escolas) estão aninhadas em grupos maiores (clusters), como estados ou famílias. Quando o tratamento é endógeno, a ferramenta padrão é o Instrumental Variável (IV) via 2SLS.

Existem duas práticas comuns para lidar com a estrutura de agrupamento:

1. 2SLS Canônico: Regressa o resultado no tratamento usando o IV, ignorando a estrutura de agrupamento na estimação pontual, mas utilizando erros-padrão robustos a clusters para a inferência.
2. 2SLS com Efeitos Fixos (2SFE): Inclui indicadores de cluster (efeitos fixos) na regressão, capturando a variação dentro dos clusters tanto na estimação quanto na inferência.

A literatura carecia de uma análise formal sobre:

• Qual estimador é mais eficiente sob quais condições?
• O que cada estimador identifica quando os clusters são heterogêneos (efeitos de tratamento variam entre grupos)?
• Como testar a presença de heterogeneidade para escolher o método adequado?

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2. Metodologia e Estrutura Teórica

Os autores utilizam o quadro de Efeito Médio de Tratamento Local (LATE) (Imbens e Angrist, 1994) e o framework de potenciais resultados.

Definições dos Estimadores

• 2SLS Canônico ($\hat{\tau}_{2sls}$): Regressão de $Y_i$ em $D_i$ instrumentada por $Z_i$, sem controles de cluster na equação.
• 2SFE ($\hat{\tau}_{2sfe}$): Regressão de $Y_i$ em $D_i$ e indicadores de cluster $C_i$, instrumentada por $Z_i$ e $C_i$.

Suposições

• Amostragem de Clusters: Independência entre clusters, mas dependência arbitrária dentro deles.
• IV para Dados Agrupados: Restrição de exclusão, atribuição aleatória do IV a nível de cluster (ou estratificada), sobreposição, relevância e monotonicidade.
• Homogeneidade vs. Heterogeneidade:
  • Clusters Homogêneos: A distribuição marginal das variáveis é idêntica em todos os clusters.
  • Clusters Heterogêneos: A distribuição pode variar entre clusters.

Modelo Linear de IV (para comparação de eficiência)

Para analisar a eficiência relativa, os autores assumem um modelo onde o efeito do tratamento é constante para os "compliers" (compliance), mas os resultados têm efeitos específicos de cluster ($\alpha_g$) e erros idiossincráticos ($\epsilon_i$):
$$Y_i = D_i \tau_c + \alpha_{c(i)} + \epsilon_i$$

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3. Principais Contribuições e Resultados

A. Clusters Homogêneos (Teoria na Seção 3)

Quando os clusters são homogêneos (distribuição idêntica):

1. Validade: Ambos os estimadores ($\hat{\tau}_{2sls}$ e $\hat{\tau}_{2sfe}$) são consistentes e assintoticamente normais para o LATE. Ambos requerem erros-padrão robustos a clusters para inferência válida.
2. Comparação de Eficiência:
   • O 2SFE não é necessariamente mais eficiente que o 2SLS canônico.
   • O 2SFE é mais eficiente se e somente se:
     1. A variância dos efeitos específicos de cluster ($\sigma^2_\alpha$) domina a variância idiossincrática ($\sigma^2_\epsilon$).
     2. O IV possui variação suficiente dentro dos clusters (alta variação intra-cluster).
   • Se não houver efeitos de cluster ($\sigma^2_\alpha = 0$), o 2SLS canônico é mais eficiente (ou igual), pois o 2SFE perde graus de liberdade ao incluir efeitos fixos sem ganho de precisão.
3. Ajuste de Covariáveis:
   • O 2SLS canônico pode incluir covariáveis a nível de cluster para melhorar a eficiência.
   • O 2SFE absorve toda a variação a nível de cluster através dos efeitos fixos, tornando impossível incluir covariáveis constantes dentro do cluster. Isso pode ser uma desvantagem se houver covariáveis informativas a nível de cluster.

B. Clusters Heterogêneos (Teoria na Seção 4)

Quando os clusters são heterogêneos (efeitos de tratamento variam entre grupos):

1. Interpretação Causal:
   • 2SFE: Identifica uma média ponderada dos LATEs específicos de cada cluster ($\tau_{c,g}$), com pesos não negativos que somam 1. É um estimador causalmente interpretável.
   • 2SLS Canônico: Geralmente não identifica uma média ponderada dos LATEs. Pode convergir para um valor enviesado que depende das proporções de tratamento e das médias de resultado dos clusters, mesmo que o efeito real seja zero em todos os clusters.
2. Conclusão: Em cenários com heterogeneidade, o 2SFE é preferível por fornecer um estimando com interpretação causal clara.

C. Teste de Heterogeneidade (Seção 4.2)

Os autores propõem um teste baseado na diferença entre os dois estimadores (inspirado no teste de Hausman):

• Estatística: $t_{diff} = (\hat{\tau}_{2sls} - \hat{\tau}_{2sfe}) / \widehat{se}_{diff}$.
• Lógica: Sob homogeneidade, a diferença converge para zero. Sob heterogeneidade, a diferença tende a ser significativa.
• Uso: Rejeitar a hipótese nula sugere heterogeneidade entre clusters, indicando que o pesquisador deve usar o 2SFE em vez do 2SLS canônico.

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4. Simulações e Aplicação Empírica

• Simulações:

  • Confirmam que ambos os métodos têm cobertura correta de 95% sob homogeneidade.
  • Demonstram que o 2SFE é mais eficiente quando a heterogeneidade de clusters é alta e a variação do IV dentro do cluster é suficiente.
  • Mostram que o ajuste de covariáveis a nível de cluster no 2SLS canônico pode superar o 2SFE quando a heterogeneidade é baixa.
  • O teste de heterogeneidade tem alto poder para detectar diferenças entre clusters.

• Aplicação (Microcrédito em Marrocos):

  • Usando dados de um experimento aleatorizado de microcrédito, os autores aplicam os métodos.
  • O teste de heterogeneidade não rejeitou a homogeneidade ($t = 0.183$).
  • O 2SFE ajustado por covariáveis forneceu o intervalo de confiança mais estreito, demonstrando ganhos de eficiência na prática.

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5. Significado e Implicações Práticas

O artigo oferece um guia crucial para economistas e estatísticos que trabalham com dados agrupados e IV:

1. Não é automático incluir efeitos fixos: A inclusão de efeitos fixos (2SFE) não garante maior eficiência. Se a variação do IV for baixa dentro dos clusters ou se os efeitos de cluster forem pequenos, o 2SLS canônico é preferível.
2. Covariáveis a nível de cluster: O 2SLS canônico permite o uso de covariáveis a nível de cluster para ganho de eficiência, algo que o 2SFE bloqueia.
3. Interpretação em Heterogeneidade: Se os clusters forem heterogêneos (ex: escolas de diferentes tamanhos, regiões diferentes), o 2SLS canônico pode produzir estimativas sem significado causal claro, enquanto o 2SFE permanece robusto.
4. Protocolo de Análise: Os autores recomendam:
   • Calcular ambos os estimadores.
   • Realizar o teste de diferença ($t_{diff}$).
   • Se o teste não rejeitar homogeneidade, escolher entre 2SLS e 2SFE baseado na eficiência (considerando a variação do IV e a disponibilidade de covariáveis).
   • Se o teste rejeitar homogeneidade, usar o 2SFE.

Em resumo, o trabalho equilibra a teoria econométrica rigorosa com recomendações práticas, esclarecendo que a escolha entre 2SLS e 2SFE depende fundamentalmente da estrutura de variação dos dados e da homogeneidade dos clusters.