Two-stage Least Squares with Clustered Data under the Local Average Treatment Effect Framework

Titel: Tweestaps-kleinste-kwadraten (2SLS) met gegroepeerde data

Auteurs: Anqi Zhao (Duke University), Peng Ding (UC Berkeley), Fan Li (Duke University)

---

1. Het Probleem

In de empirische economie zijn gegroepeerde data (waarbij observaties genest zijn binnen hogere niveaus, zoals scholen, staten of families) zeer gebruikelijk. Wanneer men de causale effecten van een endogene behandeling wil schatten, is de Tweestaps-Kleinste-Kwadraten (2SLS) methode met een instrumentvariabele (IV) de standaardbenadering.

Er zijn twee gangbare specificaties voor gegroepeerde data:

1. Canonieke 2SLS: Schat een lineaire regressie van de uitkomst op de behandeling met een IV, en gebruikt cluster-robuste standaardfouten voor inferentie. Hierbij wordt de clustering genegeerd in de punt-schatting zelf.
2. 2SLS met vaste effecten (2SFE): Voegt cluster-indicatoren (dummy's) toe aan zowel de eerste als de tweede stap van de regressie. Hierdoor wordt de cluster-informatie ook gebruikt voor de punt-schatting.

Hoewel beide methoden veel worden gebruikt, is hun causale interpretatie binnen het Local Average Treatment Effect (LATE) kader onderzocht. De centrale vraag is: onder welke omstandigheden is welke methode te prefereren, en wat zijn de implicaties voor de schatting van het LATE, vooral bij heterogene clusters?

2. Methodologie en Aannames

De auteurs analyseren de trade-offs tussen canonieke 2SLS en 2SFE binnen het LATE-kader (Imbens en Angrist, 1994).

• Datastructuur: $N$ eenheden genest in $G$ clusters.
• Instrumentvariabele (IV): De IV ($Z_i$) en de behandeling ($D_i$) variëren binnen clusters (anders is 2SFE niet gedefinieerd).
• Aannames:
  • Onafhankelijkheid tussen clusters, maar afhankelijkheid binnen clusters.
  • IV-assumpties (uitsluitingsbeperking, random toewijzing op cluster-niveau, overlap, relevantie, monotoniciteit).
  • Twee scenario's voor cluster-homogeniteit:
    1. Homogene clusters (Assumptie 3): Alle eenheden hebben dezelfde marginale verdeling.
    2. Heterogene clusters (Assumptie 4): De marginale verdeling kan verschillen tussen clusters, maar is binnen een cluster gelijk.

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Homogene Clusters (Assumptie 3)

Wanneer clusters homogeen zijn, zijn beide methoden consistent voor het schatten van het LATE ($\tau_c$), maar ze verschillen in efficiëntie.

• Validiteit: Zowel $\hat{\tau}_{2sls}$ als $\hat{\tau}_{2sfe}$ zijn consistent en asymptotisch normaal. Cluster-robuste standaardfouten zijn geldig voor beide.
• Efficiëntie Trade-off:
  • 2SFE is niet altijd efficiënter. 2SFE is alleen efficiënter dan canonieke 2SLS als de variatie in cluster-specifieke effecten ($\sigma^2_\alpha$) de idiosyncratische variatie ($\sigma^2_\epsilon$) domineert EN de IV voldoende variatie binnen clusters heeft.
  • Als er geen cluster-specifieke effecten zijn ($\sigma^2_\alpha = 0$), is canonieke 2SLS efficiënter dan 2SFE (tenzij de IV-proportie binnen clusters exact vaststaat).
  • Covariaat-justering: Canonieke 2SLS kan cluster-constante covariaten opnemen om efficiëntie te winnen. 2SFE absorbeert alle cluster-variatie via de dummy's, waardoor het opnemen van cluster-constante covariaten niet mogelijk is. Dit geeft canonieke 2SLS een potentieel voordeel als er informatieve cluster-variabelen beschikbaar zijn.

B. Heterogene Clusters (Assumptie 4)

Wanneer clusters heterogeen zijn (verschillende populaties of effecten per cluster), verandert de interpretatie drastisch.

• 2SFE: Identificeert een gewogen gemiddelde van cluster-specifieke LATE's ($\tau_{c,g}$). De gewichten zijn positief en sommeren tot 1. Dit is een interpreteerbare causale parameter.
• Canonieke 2SLS: Identificeert geen gewogen gemiddelde van de LATE's. De limietwaarde bevat vaak een bias term die afhangt van de variatie in IV-proporties tussen clusters en de uitkomstniveaus. Zelfs als alle echte effecten nul zijn ($\tau_{c,g}=0$), kan de canonieke 2SLS-schatting verschillend van nul zijn (geen "level-independence").
• Conclusie: Bij heterogene clusters biedt 2SFE een superieure en interpreteerbare schatting.

C. Test voor Cluster Heterogeniteit

Om empirisch te bepalen welke methode te gebruiken, stellen de auteurs een Hausman-type test voor.

• Ze leiden een gezamenlijke centrale limietstelling af voor $(\hat{\tau}_{2sls}, \hat{\tau}_{2sfe})$ onder homogeniteit.
• De teststatistiek is gebaseerd op het verschil: $t_{diff} = (\hat{\tau}_{2sls} - \hat{\tau}_{2sfe}) / \hat{se}_{diff}$.
• Onder homogeniteit volgt deze een standaard normale verdeling. Afwijzing suggereert heterogeniteit en pleit voor het gebruik van 2SFE.

4. Simulaties en Toepassing

• Simulaties: Bevestigen dat bij homogene clusters beide methoden correcte dekking hebben, maar dat de efficiëntie afhangt van de verhouding $\sigma^2_\alpha / \sigma^2_\epsilon$ en de variatie van de IV. Covariaat-justering verbetert de canonieke 2SLS aanzienlijk wanneer cluster-variabelen informatief zijn.
• Toepassing (Microkrediet in Marokko): De auteurs passen de methoden toe op data van een gerandomiseerd experiment. De heterogeniteitstest wees geen significant verschil aan ($p > 0.05$), wat suggereerde dat de clusters homogeen waren. Toch toonde de analyse dat 2SFE met covariaat-justering de smalste betrouwbaarheidsintervallen opleverde, wat de praktische relevantie van het kiezen van de juiste specificatie benadrukt.

5. Significatie en Conclusie

Dit artikel biedt een cruciale nuance in de econometrische praktijk voor gegroepeerde data:

1. Routinegebruik van vaste effecten is niet altijd optimaal: Het toevoegen van cluster-indicatoren (2SFE) verbetert de schatting niet automatisch; het kan zelfs leiden tot efficiëntieverlies als er weinig cluster-variatie in de IV is of als cluster-specifieke effecten verwaarloosbaar zijn.
2. Interpretatie bij Heterogeniteit: Bij heterogene clusters is 2SFE de enige methode die een geldig gewogen gemiddelde van lokale effecten levert, terwijl canonieke 2SLS een onduidelijke en mogelijk bias-schatting geeft.
3. Praktische Richtlijn: De auteurs bieden een test om heterogeniteit te detecteren. Als clusters heterogeen zijn, moet 2SFE worden gebruikt. Als ze homogeen zijn, moet de onderzoeker kijken naar de variatie in de IV en de beschikbaarheid van cluster-constante covariaten om te beslissen tussen canonieke 2SLS (met covariaten) en 2SFE.

De studie verduidelijkt dus niet alleen de theoretische eigenschappen, maar biedt ook een concrete procedure voor empirisch onderzoekers om de meest geschikte schatter te kiezen voor hun specifieke dataset.