Two-stage Least Squares with Clustered Data under the Local Average Treatment Effect Framework

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda el desafío de estimar el efecto causal de un tratamiento endógeno utilizando datos agrupados (clustered data), donde las unidades de observación están anidadas dentro de grupos superiores (ej. estudiantes en escuelas, pacientes en hospitales).

En la práctica econométrica estándar, cuando tanto el tratamiento ($D_i$) como la variable instrumental ($Z_i$) varían dentro de los grupos, se utilizan dos enfoques principales:

1. 2SLS Canónico (2sls): Regresión lineal del resultado sobre el estado del tratamiento usando una IV, ignorando la estructura de agrupación en la estimación puntual y corrigiendo solo los errores estándar mediante errores estándar robustos a la agrupación (cluster-robust SEs).
2. 2SLS con Efectos Fijos (2sfe): Incluye indicadores de grupo (dummies) tanto en la primera como en la segunda etapa, incorporando así la información de agrupación en la estimación puntual.

A pesar de su uso generalizado, la interpretación causal de estos dos métodos dentro del marco del Efecto Promedio Local del Tratamiento (LATE) no estaba completamente explorada. La pregunta central es: ¿Cuál es el trade-off entre ambos métodos? ¿Cuándo es más eficiente uno sobre el otro? ¿Qué estimando identifica cada uno cuando los grupos son heterogéneos?

2. Metodología y Marco Teórico

Los autores utilizan el marco de resultados potenciales (Imbens y Angrist, 1994) bajo el supuesto de LATE.

Supuestos Clave

• Muestreo Agrupado: Independencia entre grupos, pero dependencia arbitraria dentro de ellos.
• Asignación de IV: Se asume asignación aleatoria a nivel de grupo (o estratificada), permitiendo que la IV sea constante o variable dentro del grupo, pero independiente de los resultados potenciales y tipos de cumplimiento dentro del grupo.
• Homogeneidad vs. Heterogeneidad:
  • Supuesto 3 (Grupos Homogéneos): Todos los individuos comparten la misma distribución marginal.
  • Supuesto 4 (Grupos Heterogéneos): La distribución marginal varía entre grupos.

Definición de los Estimadores

• 2sls: Regresión $Y_i \sim 1 + D_i$ instrumentada por $1 + Z_i$.
• 2sfe: Regresión $Y_i \sim D_i + C_i$ instrumentada por $Z_i + C_i$, donde $C_i$ son los indicadores de grupo.

Herramientas Analíticas

• Teoremas del Límite Central (CLT): Se establecen CLTs conjuntos para los estimadores bajo el marco de muestreo agrupado de Hansen y Lee (2019).
• Análisis de Eficiencia Asintótica: Se comparan las varianzas asintóticas de ambos estimadores bajo un modelo de IV lineal con efectos específicos de grupo.
• Prueba de Hausman: Se deriva una prueba basada en la diferencia entre los estimadores para detectar la presencia de heterogeneidad entre grupos.

3. Contribuciones Clave

El artículo aporta tres contribuciones principales:

1. Validez y Eficiencia en Grupos Homogéneos:

   • Demuestra que tanto 2sls como 2sfe son consistentes y asintóticamente normales para estimar el LATE cuando los grupos son homogéneos.
   • Establece que 2sfe no es necesariamente más eficiente que 2sls. La eficiencia de 2sfe depende de dos factores:
     • Que la variación en los efectos específicos del grupo domine la variación idiosincrásica.
     • Que la IV tenga suficiente variación dentro de los grupos.
   • Analiza el ajuste por covariables: 2sls puede beneficiarse de covariables a nivel de grupo (que 2sfe absorbe por los efectos fijos), ofreciendo una ventaja potencial de eficiencia si tales covariables son informativas.

2. Interpretación Causal en Grupos Heterogéneos:

   • Bajo heterogeneidad, 2sfe identifica un promedio ponderado de los LATEs específicos de cada grupo, con pesos no negativos que suman uno.
   • En contraste, 2sls canónico generalmente NO identifica un promedio ponderado válido de los LATEs. Su límite en probabilidad puede ser distinto de cero incluso si todos los efectos de tratamiento son cero (violando la independencia del nivel), lo que le resta interpretabilidad causal.

3. Prueba de Heterogeneidad de Grupos:

   • Propone una prueba estadística basada en la diferencia entre los estimadores ($\hat{\tau}_{2sls} - \hat{\tau}_{2sfe}$).
   • Bajo la hipótesis nula de grupos homogéneos, la diferencia converge a una normal estándar. El rechazo de la prueba sugiere heterogeneidad, indicando que 2sfe es el método preferible por su interpretabilidad causal.

4. Resultados Principales

A. Comparación de Eficiencia (Grupos Homogéneos)

Bajo un modelo lineal con efectos de grupo ($Y_i = D_i\tau_c + \alpha_g + \epsilon_i$):

• La varianza asintótica de 2sls depende tanto de la varianza del error idiosincrásico ($\sigma^2_\epsilon$) como de la varianza de los efectos de grupo ($\sigma^2_\alpha$).
• La varianza de 2sfe depende solo de $\sigma^2_\epsilon$ (al eliminar $\alpha_g$).
• Condición de Eficiencia: 2sfe es más eficiente que 2sls si y solo si:
  $$\frac{\sigma^2_\alpha}{\sigma^2_\epsilon} > \frac{1 - \kappa_N}{\kappa_N} \cdot \frac{1}{c_N}$$
  Donde $\kappa_N$ mide la variación de la IV dentro de los grupos. Si los efectos de grupo son pequeños o la IV tiene poca variación intra-grupo, 2sls puede ser más eficiente, especialmente si se ajustan covariables a nivel de grupo.

B. Interpretación bajo Heterogeneidad

• 2sfe: Convergencia a $\sum \kappa_{g,2sfe} \tau_{c,g}$. Es un estimador causal robusto.
• 2sls: Convergencia a una combinación compleja que incluye términos de nivel de grupo y efectos de tratamiento. Si los efectos de tratamiento son cero pero las probabilidades de la IV varían entre grupos, 2sls puede producir un sesgo (estimado distinto de cero), careciendo de interpretación causal clara.

C. Simulaciones y Aplicación Empírica

• Simulaciones: Confirman que los intervalos de confianza tienen la cobertura correcta. Muestran que 2sfe es más eficiente cuando la heterogeneidad de grupos es alta, pero 2sls ajustado por covariables puede superar a 2sfe cuando la heterogeneidad es baja y existen covariables informativas.
• Aplicación (Microcrédito en Marruecos): Al aplicar la prueba de heterogeneidad a datos de un experimento aleatorizado, no se rechaza la homogeneidad. Sin embargo, el estudio demuestra cómo la inclusión de efectos fijos y covariables reduce el error estándar y estrecha los intervalos de confianza, mejorando la precisión de la estimación del impacto del microcrédito.

5. Significado e Implicaciones

Este trabajo es fundamental para la econometría aplicada y la inferencia causal por varias razones:

1. Guía Práctica para Investigadores: Proporciona criterios claros para decidir entre usar 2sls o 2sfe. Desaconseja la inclusión rutinaria de efectos fijos sin evaluar el trade-off de eficiencia, especialmente cuando se dispone de covariables a nivel de grupo que podrían explicar la variación entre grupos.
2. Rigor en la Inferencia Causal: Aclara que en presencia de heterogeneidad entre grupos, el 2sls canónico puede carecer de una interpretación causal válida, mientras que 2sfe mantiene una interpretación clara como un promedio ponderado de efectos locales.
3. Herramienta de Diagnóstico: La propuesta de una prueba formal para detectar la heterogeneidad de grupos permite a los investigadores validar sus supuestos de diseño antes de elegir el estimador final.
4. Generalización Teórica: Extiende la teoría de LATE y los métodos de IV a contextos de datos agrupados complejos, unificando la literatura sobre efectos fijos y variables instrumentales.

En resumen, el artículo demuestra que la elección entre 2sls y 2sfe no es binaria ni trivial; depende de la estructura de la heterogeneidad de los datos, la variación de la instrumental y la disponibilidad de covariables, ofreciendo un marco teórico riguroso para navegar estas decisiones en la investigación empírica.