Two-stage Least Squares with Clustered Data under the Local Average Treatment Effect Framework

1. Problématique et Contexte

Les données groupées (ou « clustered data »), où les unités d'observation sont imbriquées dans des groupes supérieurs (ex: élèves dans des écoles, ménages dans des villages), sont omniprésentes en économétrie. Lorsqu'on cherche à estimer l'effet causal d'un traitement endogène, la méthode standard est le Moindres Carrés en Deux Étapes (2SLS) avec des erreurs standards robustes aux regroupements (cluster-robust standard errors).

Cependant, une alternative courante consiste à inclure des effets fixes (indicateurs de cluster) dans la régression, méthode appelée ici 2SLS avec effets fixes (2SFE). Cette approche utilise l'information de variation au sein des clusters pour l'estimation ponctuelle, contrairement au 2SLS canonique qui ne l'utilise que pour l'inférence (via les erreurs standards).

Le papier aborde une lacune majeure dans la littérature : l'interprétation causale de ces deux méthodes dans le cadre de l'Effet Moyen Local du Traitement (LATE) lorsque les clusters peuvent être homogènes ou hétérogènes. Les auteurs cherchent à déterminer :

1. Quelle méthode est valide et plus efficace sous quelles conditions ?
2. Que se passe-t-il lorsque les effets du traitement varient entre les clusters ?
3. Comment choisir empiriquement entre les deux approches ?

2. Méthodologie et Cadre Théorique

Les auteurs utilisent le cadre des résultats potentiels (Imbens et Angrist, 1994) avec un instrument binaire $Z$. Ils comparent deux spécifications :

• 2SLS Canonique : Régression de $Y_i$ sur $D_i$ (traitement) et une constante, instrumentée par $Z_i$ et une constante. L'inférence utilise des erreurs standards robustes aux clusters.
• 2SFE (Two-Stage Least Squares with Fixed Effects) : Régression de $Y_i$ sur $D_i$ et les indicateurs de cluster $C_i$, instrumentée par $Z_i$ et $C_i$. Cela élimine la variation entre les clusters de l'estimation du coefficient.

Hypothèses Clés :

• Hypothèse 1 (Échantillonnage) : Indépendance entre les clusters, dépendance arbitraire à l'intérieur.
• Hypothèse 2 (Instrument) : Restriction d'exclusion, affectation aléatoire au niveau du cluster (ou stratifiée), recouvrement, pertinence et monotonie.
• Hypothèse 3 (Clusters Homogènes) : Distribution marginale identique pour toutes les unités.
• Hypothèse 4 (Clusters Hétérogènes) : Distribution identique seulement au sein d'un cluster, mais pouvant varier d'un cluster à l'autre.

3. Contributions et Résultats Principaux

A. Cas des Clusters Homogènes (Assomption 3)

Sous l'hypothèse que les clusters proviennent d'une même population :

1. Validité Asymptotique : Les deux estimateurs ($\hat{\tau}_{2sls}$ et $\hat{\tau}_{2sfe}$) sont consistants et asymptotiquement normaux pour estimer le LATE global ($\tau_c$). Les erreurs standards robustes aux clusters sont valides pour les deux.
2. Comparaison d'Efficacité : Le 2SFE n'est pas systématiquement plus efficace que le 2SLS canonique.
   • Le 2SFE est plus efficace seulement si la variation des effets spécifiques aux clusters domine la variation idiosyncrasique ($\sigma^2_\alpha$ grand par rapport à $\sigma^2_\epsilon$) ET si l'instrument a une variation suffisante au sein des clusters.
   • Si les effets de cluster sont nuls ou faibles, le 2SLS canonique peut être plus efficace car le 2SFE « gaspille » des degrés de liberté et perd de l'information de variation entre les clusters.
3. Ajustement par Covariables :
   • Le 2SLS canonique peut inclure des covariables au niveau du cluster, ce qui peut améliorer l'efficacité si ces covariables expliquent la variation des effets de cluster.
   • Le 2SFE absorbe toute la variation au niveau du cluster via les effets fixes, rendant impossible l'inclusion de covariables constantes au niveau du cluster. Cela suggère un avantage potentiel du 2SLS canonique lorsque des covariables de cluster informatives sont disponibles.

B. Cas des Clusters Hétérogènes (Assomption 4)

Lorsque les clusters ont des distributions marginales différentes (hétérogénéité) :

1. Interprétation Causale :
   • Le 2SFE identifie une moyenne pondérée des LATE spécifiques aux clusters ($\tau_{c,g}$), avec des poids positifs sommant à 1. C'est un estimand causal interprétable.
   • Le 2SLS Canonique ne identifie généralement pas une moyenne pondérée des LATE. Il peut converger vers une valeur biaisée (non nulle même si tous les $\tau_{c,g} = 0$) en raison de la corrélation entre la proportion d'instruments et les effets de base entre les clusters. Il manque de la propriété d'indépendance du niveau (level-independence).
2. Conclusion : En présence d'hétérogénéité, le 2SFE est préférable car il fournit une estimation causale plus robuste et interprétable.

C. Test d'Hétérogénéité des Clusters

Pour guider le choix empirique, les auteurs proposent un test basé sur la différence entre les deux estimateurs :
$$t_{diff} = \frac{\hat{\tau}_{2sls} - \hat{\tau}_{2sfe}}{\hat{se}_{diff}}$$
Sous l'hypothèse nulle d'homogénéité des clusters, cette statistique suit une loi normale standard. Un rejet de l'hypothèse nulle indique une hétérogénéité significative, suggérant l'utilisation du 2SFE. Ce test est une adaptation du test de Hausman au contexte des données groupées et des variables instrumentales.

4. Simulations et Application Empirique

• Simulations : Les auteurs valident leurs résultats théoriques.
  • En cas d'homogénéité, les deux méthodes ont un taux de couverture correct (95%). L'efficacité relative dépend du rapport $\sigma^2_\alpha / \sigma^2_\epsilon$ et de la variation de l'instrument.
  • En cas d'hétérogénéité, le 2SLS canonique présente un biais, tandis que le 2SFE reste centré sur la moyenne pondérée des effets. Le test $t_{diff}$ détecte correctement l'hétérogénéité avec une puissance croissante.
• Application (Microcrédit au Maroc) : En réanalysant les données de Crépon et al. (2015), les auteurs appliquent le test d'hétérogénéité. Le test ne rejette pas l'hypothèse d'homogénéité ($t=0.183$). Cependant, l'ajustement par covariables et l'inclusion d'effets fixes réduisent les intervalles de confiance, montrant des gains d'efficacité pratiques.

5. Signification et Implications

Ce papier apporte une clarification cruciale pour les économètres et les chercheurs en sciences sociales travaillant avec des données groupées et des variables instrumentales :

1. Fin du dogme « Effets fixes toujours meilleurs » : L'inclusion systématique d'effets fixes dans les modèles 2SLS n'est pas toujours optimale. Elle peut réduire l'efficacité si les clusters sont homogènes et si l'instrument varie peu à l'intérieur des clusters.
2. Risque de biais en cas d'hétérogénéité : Ignorer l'hétérogénéité des clusters dans un 2SLS canonique peut conduire à des estimations causales non interprétables (biaisées par rapport à toute moyenne pondérée des effets locaux).
3. Outil de diagnostic : Le test proposé offre une procédure standardisée pour décider entre 2SLS et 2SFE, évitant ainsi des choix arbitraires.
4. Gestion des covariables : L'article met en lumière le compromis entre l'efficacité (via l'ajustement de covariables de cluster possible en 2SLS) et l'interprétabilité causale (garantie par le 2SFE en cas d'hétérogénéité).

En résumé, l'article recommande d'utiliser le 2SFE lorsque l'hétérogénéité des clusters est suspectée ou lorsque l'on souhaite une interprétation causale robuste (LATE pondéré), et le 2SLS canonique (éventuellement ajusté par covariables) lorsque les clusters sont homogènes et que l'on cherche à maximiser l'efficacité statistique.